浅谈化归思想方法及其在中学数学的应用
sp; 0 P（x,0）x
两点间的距离公式，于是：
我们设P（x，0），A（-2，-1），B（2，2）
又因为三角形的两边之和大于第三边，则
即
。
所以函数y的值域为（5， ）。
2．用化归方法时尽量的把比较复杂的问题化归到简单及容易确定解题方向的问题，通过对简单问题的解答来实现对复杂的问题的解决。
例3，已知函数 ，求：函数 最大值及取得最大值的自变量x的集合？
分析：此题的三角函数是2次的形式，是一个复杂的三角函数的方程，将这些2次三角函数化简，即有：
在通过对 的确定即有：
当 时有：
取得最大值 。
3在我们解题时常常会遇到一些比较抽象的问题，那我们可以将这些问题化归更加具体直观，使其具体化。将抽象的问题化归得具体，常用数形结合的化归方法。例如：
例4．求函数 ，在[1，4]上的最值？
分析：此题在给的区间上的最值比较模糊，不能确定，那我们有数形化归的思想来确定一下在给定区间上的单调性。那么有：
如图，可知f(x)在区间[1，4]上单调递增
即
所以要求的最大值38和最小值11
4．数学在某种意义上也可以看做是一门艺术，也有数学美，我们用数学方法也讲究数学美，而和谐化是数学内在美的内容之一，所以有些问题我们通过化归使其更加和谐统一，配合恰当和匀称。
例5． 、 、 、 是互不相等的数，求证：
分析：通过观察，发现此题有一定的内在联系，即不等式的左边每个字母都用了3次，但是左右还是不配合不恰当，看不出什么有用的关系。于是我们变形一下不等式，即有：
令
即原不等式化为：
这是比较和谐匀称，于是我们即证
（ ） 16
有因为 、 、 、 是互不相等的数。
所以
（ ） ，
即有
（ ） 16
命题得证。
以上这些是使用化归思想方法所要遵循的几点原则。我们在中学数学教学中要遵循化归思想方法的基本原则有效的进行化归思想方法的教学。
在中学数学中，经常出现的化归方法有生熟转化，映射转化，数形转化，构造转化及特殊法化归。它的形式也是多中多样的主要有纵向化归，横向化归，同向化归及逆向化归。这些化归方法和形式，始终离不开化归思想的三要素，那就是化归的对象，化归的目标和化归的过程。（引用张雄）。化归的实质是不断的变更问题，有时变更问题的条件，有时是变更问题的结论，有时是将整个问题进行变更，变更为一个与原命题等价的问题。要正确的运用化归思想就要分清化归的对象，目标，来考虑化归过程中要使用的化归方法形式。下面就结合中学数学题目中用到化归思想来讨论一下中学数学中的化归方法及教学。
1．随着现代数学发展和新课程改革深入，化归思想方法做为一般方法原则在现代数学形式下主要表现为关系（relationship）映射(mapping)反演(inversion)方法，简称RMI法 。这一方法是有我国数学家徐利治教授提出来的。（问题） （问题 ） （结果 ） （结果）。在求复杂问题时可能要借助多步的RMI程序。在中学数学中适当的渗透RMI方法的思想，有助培养学生思维的灵活性，独创性和敏感性，提高学生的现代数学意识。
例6．过点P（2，2）并和椭圆 相切的直线方程？
分析：运用RMI法，对椭圆进行伸缩变换，将椭圆换成圆的问题。
令 ， ，则
P（2，2） 即：
即
即
另一切线不存在，即
因此要求的切线方程为 。
2．化归思想不只在函数中用的是反演映射法，在函数中常用的还有数形化归，以及函数的恒等变形化归。其中例1就是典型的数形结合的化归思想，下面在看一个函数的恒等变形化归的例子：
例7．若
分析：此题若以x值代入来求函数y的值太繁琐了，若利用恒等变形化归，即可化繁为简。
即
又因为
函数
=
所以要求的函数值y为5。
以上就是恒等变形的化归。通过对数行化归和恒等变形化归的教学，可以培养学生们的数学思维能力，使学生灵活的运用有关知识更好的将数与形地结合，也让他们感觉到数学的内在联系及数学内在美，也使学生更加熟练的运用相关的定理推论。
3．在中学里学过平面几何和立体几何，我们经常将平面几何学习问题化归到平行线与相交线的讨论，将立体几何的空间形式转化到平面形式，通过对这些几何问题的化归思想方法的学习与运用，可以培养学生的分剖化归能力，更好地提高学生想象能力及空间思维能力。常用方法如下：
例8．如果用铁丝为成底面为正方形面积为25平方厘米，高为2厘米的长方体，共需要多少铁丝？
分析：这是一个简单而且实际的立体几何的问题，发挥一下想象能力，会发现解这题的一些简单的方法。
方法一：经思考，可以将这个长方体归结为它是由上下两个正方形面加四个高组成的，于是就的到：
需要的长度= （cm）
方法二：我们可以将这个长方体展开为一个平面的形式，
把它化归到平面几何的问题，如图3 （图3）
其中虚线为公共的边不计算，那么计算下实线的长度为48厘米。
所以共需要48厘米。
例9．等腰 ABC的底边是BC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，求证：CD=2CE
分析：需在CD上分解CD，取CD的一半，则取
CD中点F，CF= CD，在证CF=CE
结合图4，只需证
证明：取CD中点F，连结BF，则
BF=
且
又 ，得
因此
即命题得证。
4．化归思想了在以上的应用外，在中学的数列中也会常用到这种思想。例如数学归纳法也用到化归的思想，其中A 为真命题，假设A 为真，则原命题为真。其中证 为真时，就把它化归到命题A 中去。这样的证明就像罗沙说的烧开水这个形象的比喻那样，把水倒掉就回到了前一步，而前一步已经假设成立，那命题就得证了。
例10．若数列{ }满足 ，证明： 是等差数列？
证明：由题意得：
4
即
①
②
由②- ①得：
③
《浅谈化归思想方法及其在中学数学的应用》
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两点间的距离公式，于是：
我们设P（x，0），A（-2，-1），B（2，2）
又因为三角形的两边之和大于第三边，则
即
。
所以函数y的值域为（5， ）。
2．用化归方法时尽量的把比较复杂的问题化归到简单及容易确定解题方向的问题，通过对简单问题的解答来实现对复杂的问题的解决。
例3，已知函数 ，求：函数 最大值及取得最大值的自变量x的集合？
分析：此题的三角函数是2次的形式，是一个复杂的三角函数的方程，将这些2次三角函数化简，即有：
在通过对 的确定即有：
当 时有：
取得最大值 。
3在我们解题时常常会遇到一些比较抽象的问题，那我们可以将这些问题化归更加具体直观，使其具体化。将抽象的问题化归得具体，常用数形结合的化归方法。例如：
例4．求函数 ，在[1，4]上的最值？
分析：此题在给的区间上的最值比较模糊，不能确定，那我们有数形化归的思想来确定一下在给定区间上的单调性。那么有：
如图，可知f(x)在区间[1，4]上单调递增
即
所以要求的最大值38和最小值11
4．数学在某种意义上也可以看做是一门艺术，也有数学美，我们用数学方法也讲究数学美，而和谐化是数学内在美的内容之一，所以有些问题我们通过化归使其更加和谐统一，配合恰当和匀称。
例5． 、 、 、 是互不相等的数，求证：
分析：通过观察，发现此题有一定的内在联系，即不等式的左边每个字母都用了3次，但是左右还是不配合不恰当，看不出什么有用的关系。于是我们变形一下不等式，即有：
令
即原不等式化为：
这是比较和谐匀称，于是我们即证
（ ） 16
有因为 、 、 、 是互不相等的数。
所以
（ ） ，
即有
（ ） 16
命题得证。
以上这些是使用化归思想方法所要遵循的几点原则。我们在中学数学教学中要遵循化归思想方法的基本原则有效的进行化归思想方法的教学。
在中学数学中，经常出现的化归方法有生熟转化，映射转化，数形转化，构造转化及特殊法化归。它的形式也是多中多样的主要有纵向化归，横向化归，同向化归及逆向化归。这些化归方法和形式，始终离不开化归思想的三要素，那就是化归的对象，化归的目标和化归的过程。（引用张雄）。化归的实质是不断的变更问题，有时变更问题的条件，有时是变更问题的结论，有时是将整个问题进行变更，变更为一个与原命题等价的问题。要正确的运用化归思想就要分清化归的对象，目标，来考虑化归过程中要使用的化归方法形式。下面就结合中学数学题目中用到化归思想来讨论一下中学数学中的化归方法及教学。
1．随着现代数学发展和新课程改革深入，化归思想方法做为一般方法原则在现代数学形式下主要表现为关系（relationship）映射(mapping)反演(inversion)方法，简称RMI法 。这一方法是有我国数学家徐利治教授提出来的。（问题） （问题 ） （结果 ） （结果）。在求复杂问题时可能要借助多步的RMI程序。在中学数学中适当的渗透RMI方法的思想，有助培养学生思维的灵活性，独创性和敏感性，提高学生的现代数学意识。
例6．过点P（2，2）并和椭圆 相切的直线方程？
分析：运用RMI法，对椭圆进行伸缩变换，将椭圆换成圆的问题。
令 ， ，则
P（2，2） 即：
即
即
另一切线不存在，即
因此要求的切线方程为 。
2．化归思想不只在函数中用的是反演映射法，在函数中常用的还有数形化归，以及函数的恒等变形化归。其中例1就是典型的数形结合的化归思想，下面在看一个函数的恒等变形化归的例子：
例7．若
分析：此题若以x值代入来求函数y的值太繁琐了，若利用恒等变形化归，即可化繁为简。
即
又因为
函数
=
所以要求的函数值y为5。
以上就是恒等变形的化归。通过对数行化归和恒等变形化归的教学，可以培养学生们的数学思维能力，使学生灵活的运用有关知识更好的将数与形地结合，也让他们感觉到数学的内在联系及数学内在美，也使学生更加熟练的运用相关的定理推论。
3．在中学里学过平面几何和立体几何，我们经常将平面几何学习问题化归到平行线与相交线的讨论，将立体几何的空间形式转化到平面形式，通过对这些几何问题的化归思想方法的学习与运用，可以培养学生的分剖化归能力，更好地提高学生想象能力及空间思维能力。常用方法如下：
例8．如果用铁丝为成底面为正方形面积为25平方厘米，高为2厘米的长方体，共需要多少铁丝？
分析：这是一个简单而且实际的立体几何的问题，发挥一下想象能力，会发现解这题的一些简单的方法。
方法一：经思考，可以将这个长方体归结为它是由上下两个正方形面加四个高组成的，于是就的到：
需要的长度= （cm）
方法二：我们可以将这个长方体展开为一个平面的形式，
把它化归到平面几何的问题，如图3 （图3）
其中虚线为公共的边不计算，那么计算下实线的长度为48厘米。
所以共需要48厘米。
例9．等腰 ABC的底边是BC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，求证：CD=2CE
分析：需在CD上分解CD，取CD的一半，则取
CD中点F，CF= CD，在证CF=CE
结合图4，只需证
证明：取CD中点F，连结BF，则
BF=
且
又 ，得
因此
即命题得证。
4．化归思想了在以上的应用外，在中学的数列中也会常用到这种思想。例如数学归纳法也用到化归的思想，其中A 为真命题，假设A 为真，则原命题为真。其中证 为真时，就把它化归到命题A 中去。这样的证明就像罗沙说的烧开水这个形象的比喻那样，把水倒掉就回到了前一步，而前一步已经假设成立，那命题就得证了。
例10．若数列{ }满足 ，证明： 是等差数列？
证明：由题意得：
4
即
①
②
由②- ①得：
③
《浅谈化归思想方法及其在中学数学的应用》
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