加强线性代数的教学 提高学生的数学能力
学能力不可或缺的成份，同时也为学生的逻辑思维训练提供了极为有利的条件。
逻辑思维的一个方面是分析思维，表现在对数学概念的定义、运用和对概念的分类，以及推理的形式和方法。例如，在证明矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩时，由表达式AB=C可知，乘积矩阵C的每个行向量都可以经矩阵B的行向量组线性表出，因此，矩阵C的行向量组的极大线性无关组也可以由B的行向量组的极大线性无关组表出，于是rank（C）≤rank（B）；同时，因为BTAT=CT，故又有rank（C）=rank（CT）≤rank（AT）=rank（A）。
逻辑思维另一重要的方面是辩证思维。它在数学概念中的体现，一是将形成的数学概念具体化，把反映事物单一属性的数学概念与事物的多样性统一起来，更全面地认识客观现实；二是将数学概念分化与推广，正确区分概念间的联系与区别，把握数学的逻辑建构。例如，给定了n维线性空间的一组基，则其上所有的线性变换与所有的n阶方阵之间存在一一对应的关系，由此，当线性空间的基发生变化时，线性变换的矩阵也会发生变化，这种变化规律就是方阵间的相似关系，并且由矩阵乘法的运算律可以断言，线性变换的乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
（四）思维的创造性
思维的创造性指思维活动的方式不仅善于求同，更善于求异。创造性思维是有目的、受支配的创造性想象，也是为解决问题的反复、有步骤和连贯的思考。创造性思维的结果，不单纯是应用已知的概念和方法，还要创造新的形象、意义与方法，并利用它们来揭示问题新的特性和解决问题。创造性思维主要表现在以下三个方面：
一是对已有的数学概念和方法进行最严格的评价，进而突破其局限性。例如，克拉姆法则是一个经典的关于线性方程组的求解公式，它明确给出了线性方程组的解与系数之间的关系，在线性方程组理论中有着非常重要的作用，然而，其局限性在于，一是只适合于方程组含n个未知量和n个方程，且系数行列式不为零的情形，二是当n≥4时，计算量比较大。因此，突破这种局限，寻求一种更为有效的线性方程组的解法，是势在必行的，也就是熟知的高斯——若当消元法。
二是能顺利地从一种心理运算转移到另一种心理运算，寻求解决问题的简捷方法，象简单结构的推理、一题多解等。例如，一个n元线性方程组可以写成向量方程α1x1+α2x2+…+αnxn=β的形式，则该n元线性方程组的解的问题等价于向量β由向量组α1，α2，…，αn的线性表出的问题；特别地，齐次线性方程组是否有非零解等价于向量组α1，α2，…，αn是否线性相关。进一步地，矩阵关系式AB=O表明，只要A≠O，B的行向量组就是线性相关的，B的列向量也是齐次线性方程组AX=0的解向量，因此，B的列空间是AX=0的解空间的一个子空间。
三是不使数学材料迁就于现成的概念，而是善于用材料来检验这些概念。在建立数学模型的过程中，这方面的能力就得到了比较充分表现。同样的数学材料，运用不同的假设条件和相应的数学概念，可以建立不同的模型，应用不同的解题方法或技巧，又可以得到不同的结果，而对于这些结果的分析，与实际数据的吻合程度，就可以在一定程度上检验所运用的知识的合理性。
（五）数学记忆能力
数学记忆能力是对于数学的量化模式及逻辑建构的记忆力，记忆的主要形式是逻辑记忆与概念记忆。例如，关于向量组的线性相关性的一些判定定理和性质定理，学生在学习过程中经常出现对定理的条件与结论不熟悉、运用出错，实际上，这些定理大部分是以“等价命题”的形式给出的，因此，从一个基本的结论出发，就可以推及其他；此外，基本定理的证明方法都是基于线性相关性的定义结合线性方程组的同解变形。
应当注意的是，记忆能力与学生的注意力和定势有关，注意力集中，才能排除来自外界的大量无关的“干扰”，包括其他学生的行为、教师的外貌、教室内外不断发生的微小事件等等，才可能对教师的演示和语言等信息有较好的理解和加工，达到对知识的记忆。记忆能力也与知识的内容、表现形式、难度和可理解性等有关，因此，往往看到同一个学生对不同内容的记忆程度表现有较大的反差。
（六）空间想象能力
空间想象能力与数学所研究的对象所处的空间形式有关，要求能对空间的几何体进行剖分，能借助空间图形来反映量化的数学表达式的意义。例如，对于特征值与特征向量的定义式Aξ=λξ，在二阶的实矩阵的情形时，A定义了一个从R2到自身的映射，在此映射下，二维向量ξ的像只是原像的λ倍，从几何上看，像与原像平行。又如，在二维平面上的2个不共线的向量可以张成一个平行四边形，而该平行四边形的有向面积就是以这2个向量的坐标作为列向量的二阶行列式的值；在三维空间中的3个不共面的向量可以张成一个平行六面体，而其有向体积就是以这3个向量的坐标为列向量的三阶行列式的值。以此类推，在n维空间里给出了n个向量后，它们也能够张成一个n维的平行多面体，它的有向体积就是由这n个向量的坐标为列向量所构成的n阶行列式的值。
二优化教学环节，提高数学能力
数学能力与数学基础知识、数学技能密切相关又相互区别。扎实的数学基础知识与熟练的数学技能有助于数学能力的提高，反之亦然。因此，数学能力的培养与数学基础知识和数学技能的培养是相辅相成，密不可分的。从教学环节来看，数学能力的培养途径大致如下：
（1）组织教学内容。一般说来，对于教学内容的组织有2种方式，一是综合法，即教学材料的选择应该有助于使学生了解教学目的和唤起掌握知识的欲望，在学习中不断寻找和试探正确的解决问题的方法，分析所犯错误并改正错误；二是分析法，即从标准形式相似的基本内容开始练习，练习的内容应该有助于对结果的了解，在练习中通过不断牢记正确的东西，将它们逐渐联合成一个有机的整体。
（2）选择教学方法。基本的教学方法不外乎3种，一是对原则的教学，就是预先将一般的原理、公式、定理或算法的内涵传授给学生；二是范例教学，就是使学生在理解和应用数学材料的进程中亲自发现这些材料的本质关系；三是思维结构定向的教学，就是教学生学会一些解决问题的方法，再启发他们寻找对象的一些特征，并借助于这些方法和特征来发现对象之间的必然关系，从而揭示出数学材料的本质关系。但无论选择哪种教 《加强线性代数的教学 提高学生的数学能力》
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逻辑思维的一个方面是分析思维，表现在对数学概念的定义、运用和对概念的分类，以及推理的形式和方法。例如，在证明矩阵乘积的秩不超过每个因子的秩时，由表达式AB=C可知，乘积矩阵C的每个行向量都可以经矩阵B的行向量组线性表出，因此，矩阵C的行向量组的极大线性无关组也可以由B的行向量组的极大线性无关组表出，于是rank（C）≤rank（B）；同时，因为BTAT=CT，故又有rank（C）=rank（CT）≤rank（AT）=rank（A）。
逻辑思维另一重要的方面是辩证思维。它在数学概念中的体现，一是将形成的数学概念具体化，把反映事物单一属性的数学概念与事物的多样性统一起来，更全面地认识客观现实；二是将数学概念分化与推广，正确区分概念间的联系与区别，把握数学的逻辑建构。例如，给定了n维线性空间的一组基，则其上所有的线性变换与所有的n阶方阵之间存在一一对应的关系，由此，当线性空间的基发生变化时，线性变换的矩阵也会发生变化，这种变化规律就是方阵间的相似关系，并且由矩阵乘法的运算律可以断言，线性变换的乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
（四）思维的创造性
思维的创造性指思维活动的方式不仅善于求同，更善于求异。创造性思维是有目的、受支配的创造性想象，也是为解决问题的反复、有步骤和连贯的思考。创造性思维的结果，不单纯是应用已知的概念和方法，还要创造新的形象、意义与方法，并利用它们来揭示问题新的特性和解决问题。创造性思维主要表现在以下三个方面：
一是对已有的数学概念和方法进行最严格的评价，进而突破其局限性。例如，克拉姆法则是一个经典的关于线性方程组的求解公式，它明确给出了线性方程组的解与系数之间的关系，在线性方程组理论中有着非常重要的作用，然而，其局限性在于，一是只适合于方程组含n个未知量和n个方程，且系数行列式不为零的情形，二是当n≥4时，计算量比较大。因此，突破这种局限，寻求一种更为有效的线性方程组的解法，是势在必行的，也就是熟知的高斯——若当消元法。
二是能顺利地从一种心理运算转移到另一种心理运算，寻求解决问题的简捷方法，象简单结构的推理、一题多解等。例如，一个n元线性方程组可以写成向量方程α1x1+α2x2+…+αnxn=β的形式，则该n元线性方程组的解的问题等价于向量β由向量组α1，α2，…，αn的线性表出的问题；特别地，齐次线性方程组是否有非零解等价于向量组α1，α2，…，αn是否线性相关。进一步地，矩阵关系式AB=O表明，只要A≠O，B的行向量组就是线性相关的，B的列向量也是齐次线性方程组AX=0的解向量，因此，B的列空间是AX=0的解空间的一个子空间。
三是不使数学材料迁就于现成的概念，而是善于用材料来检验这些概念。在建立数学模型的过程中，这方面的能力就得到了比较充分表现。同样的数学材料，运用不同的假设条件和相应的数学概念，可以建立不同的模型，应用不同的解题方法或技巧，又可以得到不同的结果，而对于这些结果的分析，与实际数据的吻合程度，就可以在一定程度上检验所运用的知识的合理性。
（五）数学记忆能力
数学记忆能力是对于数学的量化模式及逻辑建构的记忆力，记忆的主要形式是逻辑记忆与概念记忆。例如，关于向量组的线性相关性的一些判定定理和性质定理，学生在学习过程中经常出现对定理的条件与结论不熟悉、运用出错，实际上，这些定理大部分是以“等价命题”的形式给出的，因此，从一个基本的结论出发，就可以推及其他；此外，基本定理的证明方法都是基于线性相关性的定义结合线性方程组的同解变形。
应当注意的是，记忆能力与学生的注意力和定势有关，注意力集中，才能排除来自外界的大量无关的“干扰”，包括其他学生的行为、教师的外貌、教室内外不断发生的微小事件等等，才可能对教师的演示和语言等信息有较好的理解和加工，达到对知识的记忆。记忆能力也与知识的内容、表现形式、难度和可理解性等有关，因此，往往看到同一个学生对不同内容的记忆程度表现有较大的反差。
（六）空间想象能力
空间想象能力与数学所研究的对象所处的空间形式有关，要求能对空间的几何体进行剖分，能借助空间图形来反映量化的数学表达式的意义。例如，对于特征值与特征向量的定义式Aξ=λξ，在二阶的实矩阵的情形时，A定义了一个从R2到自身的映射，在此映射下，二维向量ξ的像只是原像的λ倍，从几何上看，像与原像平行。又如，在二维平面上的2个不共线的向量可以张成一个平行四边形，而该平行四边形的有向面积就是以这2个向量的坐标作为列向量的二阶行列式的值；在三维空间中的3个不共面的向量可以张成一个平行六面体，而其有向体积就是以这3个向量的坐标为列向量的三阶行列式的值。以此类推，在n维空间里给出了n个向量后，它们也能够张成一个n维的平行多面体，它的有向体积就是由这n个向量的坐标为列向量所构成的n阶行列式的值。
二优化教学环节，提高数学能力
数学能力与数学基础知识、数学技能密切相关又相互区别。扎实的数学基础知识与熟练的数学技能有助于数学能力的提高，反之亦然。因此，数学能力的培养与数学基础知识和数学技能的培养是相辅相成，密不可分的。从教学环节来看，数学能力的培养途径大致如下：
（1）组织教学内容。一般说来，对于教学内容的组织有2种方式，一是综合法，即教学材料的选择应该有助于使学生了解教学目的和唤起掌握知识的欲望，在学习中不断寻找和试探正确的解决问题的方法，分析所犯错误并改正错误；二是分析法，即从标准形式相似的基本内容开始练习，练习的内容应该有助于对结果的了解，在练习中通过不断牢记正确的东西，将它们逐渐联合成一个有机的整体。
（2）选择教学方法。基本的教学方法不外乎3种，一是对原则的教学，就是预先将一般的原理、公式、定理或算法的内涵传授给学生；二是范例教学，就是使学生在理解和应用数学材料的进程中亲自发现这些材料的本质关系；三是思维结构定向的教学，就是教学生学会一些解决问题的方法，再启发他们寻找对象的一些特征，并借助于这些方法和特征来发现对象之间的必然关系，从而揭示出数学材料的本质关系。但无论选择哪种教 《加强线性代数的教学 提高学生的数学能力》
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