加强线性代数的教学 提高学生的数学能力
加强线性代数的教学 提高学生的数学能力
基金项目：2010年湖南省普通高等学校教学改革研究资助项目（湘财教指［2010］74号）
作者简介：陈佘喜（1965-），男，湖南邵东人，教授，硕士生导师，主要从事应用数学的教学与研究。
陈佘喜
（湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201）
摘要：线性代数是理工科各专业一门重要的基础课。本文结合线性代数课程的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述了数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生的数学能力的若干途径。
关键词：线性代数；数学能力；培养途径
中图分类号：O157，G420文献标识码：A文章编号：1674-5884（2013）04-0109-03
线性代数是理工科各专业一门重要的基础课，为学生学习后继课程提供必要的有关矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换等方面的基本概念与基础理论，以及处理实际问题的基本方法［1-4］。众所周知，数学能力是学生完成数学活动的可能性方面的个性心理特性，是顺利完成数学活动的必要的心理条件［5, 6］。数学活动主要是通过思维与想象，形成和掌握数学的基本概念、基本理论以及常用的数学方法，进而应用数学知识解决相关的实际问题。数学能力是在数学活动中形成和发展起来的，并在数学活动中得到表现，但同时它又是学生进行数学活动的条件与保证，是由数学活动所要求的多种基本能力的有机组合，也就是学生的一般能力在数学活动中的具体化。本文将结合线性代数课程教学的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生数学能力的若干途径。
一把握教学内容，培养数学能力
（一）数学材料的概念化
数学材料的概念化，就是通过分析给定的数学材料的数量关系与空间形式，抽象出本质的东西进行科学概括，也就是用数学概念来描述材料的本质特征。矩阵是线性代数课程中最基本的概念，从历史上看，我国东汉初年《九章算术》中的“方程术”，其实质就是解线性方程组的高斯消元法。作为一个数学概念，矩阵（matrix）这个词是在1850年由英国数学家、剑桥大学教授Sylvester首先提出来的。利用矩阵的概念，人们将在生产实践中需要处理的一组相互独立的数据，以表格的形式系在一起，视为一个整体，用一个量来表示，并参与运算，就使原来庞大而杂乱的数据，变得简单而有序。特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，其反映了线性变换的本质特征，因为在将一个线性空间变换到自身的过程中，特征向量就是保持“同向”或“反向”、“伸长”或“缩短”的那些向量，而“伸长”或“缩短”相同“倍数”的向量就是属于同一“特征值”的特征向量。在德语与荷兰语中，特征值（eigenvalue）与特征向量（eigenvector）中的“特征（eigen）”的意思就是“事物的某些本质属性”。
数学材料的概念化，表现在学生能够按照新的观点来对待和处理各个阶段所积累起来的数学知识，并把以前好象是零散的和孤立的事实和概念组织和联合起来，使之成为一个有机的整体。例如，矩阵的初等行变换是线性代数课程中一个重要的方法，最初的引入似乎仅仅是为了简化表示用高斯消元法求解线性方程组的过程，而随着课程的深入，初等行变换也可以用来求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性、求向量组的极大线性无关组、求矩阵的逆，甚至可以用来做矩阵的三角分解等等，这样，通过矩阵的初等行变换，将线性代数课程中有关的重要概念、定理和方法连成了一个有机的整体。
线性代数课程中的数学模型，是数学材料概念化的一种重要形式，它是在一定的假设条件下，将实际问题用数学语言表达出来的一种方式，能反映或近似反映该问题的数量关系。例如，在工厂考虑生产成本的问题中，若用mij表示生产第j种单位产品所花的第i类成本，则矩阵M=（mij）表示生产各种单位产品所花费的每类成本，若用P=（pij）表示第i种产品在第j个季度的产量，那么，乘积MP中第i行第j列的元素就表示在第j个季度所花的第i类成本的量，而且MP的列和为每个季度的总成本，行和为全年的各类成本。
（二）用数学符号进行运算
数学概念揭示了事物在变化的数量关系与空间形式上的本质特性，它们是通过构造相应的量化模式来明确定义的，并表达为一定的术语与特定的符号。n阶行列式的概念，反映了n2个数之间的一种运算关系，这种关系就是先在行列式中每行每列各取一个数做乘积，再求所有这种可能的乘积项（共有n!项）的代数和，从函数的观点来看，行列式就是一个n2元的函数。数学中的基本定理，揭示了数学概念之间的必然联系，反映了数学符号之间的内在关系。行列式按行（列）的展开定理，反映了行列式与其一行（列）元素及相应的代数余子式的关系，而更为一般地，拉普拉斯定理表明了如何将高阶行列式转化为若干低阶行列式的计算；方阵的伴随矩阵的性质：AA*=A*A=AE，反映了方阵A、伴随矩阵A*与行列式A之间的联系，同时也展示了行列式的展开定理的本质，更进一步地，如果A≠0，上述性质还可以给出逆矩阵A－1的一个表达式。
能否正确地运用数学符号进行运算，是学生数学能力高低的直观表现。在矩阵阶梯化过程中，如果不同矩阵之间用“=”连接，就说明了学生对于矩阵相等的概念是模糊的。对于多项式f（x）=a0+a1x+…+amxm与方阵A，若将f（A）表示为a0+a1A+…+amAm，则说明学生对形式多项式的概念还停留在数多项式的阶段，并未理解矩阵多项式的概念，而能力较强的学生，则能立即发现上述表达式的错误，因为后者在一般情况下是没法进行矩阵加法运算的。实际上，由矩阵幂的定义，A0=E，因此，f（A）=a0E+a1A+…+amAm。
（三）思维的逻辑性
逻辑思维就是按照逻辑规则而进行概念的运演来取代作用于现实事物的行动的思维。线性代数中内在的逻辑建构，决定了逻辑思维能力是学生数 《加强线性代数的教学 提高学生的数学能力》
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基金项目：2010年湖南省普通高等学校教学改革研究资助项目（湘财教指［2010］74号）
作者简介：陈佘喜（1965-），男，湖南邵东人，教授，硕士生导师，主要从事应用数学的教学与研究。
陈佘喜
（湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭 411201）
摘要：线性代数是理工科各专业一门重要的基础课。本文结合线性代数课程的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述了数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生的数学能力的若干途径。
关键词：线性代数；数学能力；培养途径
中图分类号：O157，G420文献标识码：A文章编号：1674-5884（2013）04-0109-03
线性代数是理工科各专业一门重要的基础课，为学生学习后继课程提供必要的有关矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换等方面的基本概念与基础理论，以及处理实际问题的基本方法［1-4］。众所周知，数学能力是学生完成数学活动的可能性方面的个性心理特性，是顺利完成数学活动的必要的心理条件［5, 6］。数学活动主要是通过思维与想象，形成和掌握数学的基本概念、基本理论以及常用的数学方法，进而应用数学知识解决相关的实际问题。数学能力是在数学活动中形成和发展起来的，并在数学活动中得到表现，但同时它又是学生进行数学活动的条件与保证，是由数学活动所要求的多种基本能力的有机组合，也就是学生的一般能力在数学活动中的具体化。本文将结合线性代数课程教学的基本内容，从数学材料概念化的能力、用数学符号进行运算的能力、思维的逻辑性、思维的创造性、数学记忆能力与空间想象能力等方面阐述数学能力的培养，并从教学环节方面探讨了提高学生数学能力的若干途径。
一把握教学内容，培养数学能力
（一）数学材料的概念化
数学材料的概念化，就是通过分析给定的数学材料的数量关系与空间形式，抽象出本质的东西进行科学概括，也就是用数学概念来描述材料的本质特征。矩阵是线性代数课程中最基本的概念，从历史上看，我国东汉初年《九章算术》中的“方程术”，其实质就是解线性方程组的高斯消元法。作为一个数学概念，矩阵（matrix）这个词是在1850年由英国数学家、剑桥大学教授Sylvester首先提出来的。利用矩阵的概念，人们将在生产实践中需要处理的一组相互独立的数据，以表格的形式系在一起，视为一个整体，用一个量来表示，并参与运算，就使原来庞大而杂乱的数据，变得简单而有序。特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，其反映了线性变换的本质特征，因为在将一个线性空间变换到自身的过程中，特征向量就是保持“同向”或“反向”、“伸长”或“缩短”的那些向量，而“伸长”或“缩短”相同“倍数”的向量就是属于同一“特征值”的特征向量。在德语与荷兰语中，特征值（eigenvalue）与特征向量（eigenvector）中的“特征（eigen）”的意思就是“事物的某些本质属性”。
数学材料的概念化，表现在学生能够按照新的观点来对待和处理各个阶段所积累起来的数学知识，并把以前好象是零散的和孤立的事实和概念组织和联合起来，使之成为一个有机的整体。例如，矩阵的初等行变换是线性代数课程中一个重要的方法，最初的引入似乎仅仅是为了简化表示用高斯消元法求解线性方程组的过程，而随着课程的深入，初等行变换也可以用来求矩阵的秩、判断向量组的线性相关性、求向量组的极大线性无关组、求矩阵的逆，甚至可以用来做矩阵的三角分解等等，这样，通过矩阵的初等行变换，将线性代数课程中有关的重要概念、定理和方法连成了一个有机的整体。
线性代数课程中的数学模型，是数学材料概念化的一种重要形式，它是在一定的假设条件下，将实际问题用数学语言表达出来的一种方式，能反映或近似反映该问题的数量关系。例如，在工厂考虑生产成本的问题中，若用mij表示生产第j种单位产品所花的第i类成本，则矩阵M=（mij）表示生产各种单位产品所花费的每类成本，若用P=（pij）表示第i种产品在第j个季度的产量，那么，乘积MP中第i行第j列的元素就表示在第j个季度所花的第i类成本的量，而且MP的列和为每个季度的总成本，行和为全年的各类成本。
（二）用数学符号进行运算
数学概念揭示了事物在变化的数量关系与空间形式上的本质特性，它们是通过构造相应的量化模式来明确定义的，并表达为一定的术语与特定的符号。n阶行列式的概念，反映了n2个数之间的一种运算关系，这种关系就是先在行列式中每行每列各取一个数做乘积，再求所有这种可能的乘积项（共有n!项）的代数和，从函数的观点来看，行列式就是一个n2元的函数。数学中的基本定理，揭示了数学概念之间的必然联系，反映了数学符号之间的内在关系。行列式按行（列）的展开定理，反映了行列式与其一行（列）元素及相应的代数余子式的关系，而更为一般地，拉普拉斯定理表明了如何将高阶行列式转化为若干低阶行列式的计算；方阵的伴随矩阵的性质：AA*=A*A=AE，反映了方阵A、伴随矩阵A*与行列式A之间的联系，同时也展示了行列式的展开定理的本质，更进一步地，如果A≠0，上述性质还可以给出逆矩阵A－1的一个表达式。
能否正确地运用数学符号进行运算，是学生数学能力高低的直观表现。在矩阵阶梯化过程中，如果不同矩阵之间用“=”连接，就说明了学生对于矩阵相等的概念是模糊的。对于多项式f（x）=a0+a1x+…+amxm与方阵A，若将f（A）表示为a0+a1A+…+amAm，则说明学生对形式多项式的概念还停留在数多项式的阶段，并未理解矩阵多项式的概念，而能力较强的学生，则能立即发现上述表达式的错误，因为后者在一般情况下是没法进行矩阵加法运算的。实际上，由矩阵幂的定义，A0=E，因此，f（A）=a0E+a1A+…+amAm。
（三）思维的逻辑性
逻辑思维就是按照逻辑规则而进行概念的运演来取代作用于现实事物的行动的思维。线性代数中内在的逻辑建构，决定了逻辑思维能力是学生数 《加强线性代数的教学 提高学生的数学能力》
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