用辨证的观点看函数及图象
用辨证的观点看函数及图象
陈林新
云南昭通昭阳区第四中学（657000）
数学是一门思维严密、逻辑性很强的学科。在教学中如果教师对所授内容的平铺直叙，势必会使学生对所学知识感到枯燥无味。一方面教师要想方设法激发起学生对数学知识的学习兴趣，另一方面也要引导学生体会知识间的联系并能用辩证观点看待问题。在初中人教版的函数章节中，用辩证的观点看知识间的联系是十分必要的。在这些章教学中最大特点是“变”：变化、变量、运动。
学好这些章节的知识体系，不仅可以帮助学生深化对以前所学过的基础知识的理解，提高数学能力，形成运动、变化、联系的意识，而且能较自然地培养学生辩证唯物主义的世界观。
1常量与变量
在辩证法中，世界上的万事万物，都是相互联系、运动、变化和发展的。常量，是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的。相对的常量是有的，绝对的常量是不存在的。因此，在教学过程中，为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系，不妨举如下实例：
⑴匀速直线运动中，速度是常量，时间与路程均为变量，且人在实际运动的过程中，绝对的匀速运动是没有的。
⑵电影院里统计票房收入，对某一个场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量；但相对于某个较长时间间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量。
2运动与静止
我们根据教材中的具体教学内容，对照人类认识事物的客观规律及青少年实践和知识的发展水平，引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。
例如，我们可以引导学生从教科书上看到的，在练习本或黑板上画出的y=x的图象去思考：这个图象表面上是静止的，但从列表、描点到连线的过程去看却是运动的、变化的。再进一步挖掘，可以发现：画成的图象表面上是完整的，其实是不完整的，因为它还可以向两方无限延伸，即不断运动、发展和变化，画出的函数图象永远只能是局部的，它只能是某个函数图象的一个象征物；同时这一例子也体现了部分与整体的辩证统一。
3内容与形式
在初一下学期，学生学习了方程的有关概念后看到，形如y=2x+1的式子则认为是一个二元一次方程；初二学生刚接触一次函数概念时，会认为y=2x+1表示一个一次函数；当学生用描绘函数图象的一般方法描出y=2x+1的图象后，又认识到y=2x+1表示的是一条直线。从哲学的角度去看，y=2x+1表示一类事物的本质联系，其内容是极其丰富的，而表达这丰富内容的形式却是相同的。从上述例子可见，同一事物在不同的外部条件下具有多种不同的外部表现形式，相同的外部形式可以表示不同的本质内容。随着学生知识的增多和认识能力的提高，他们对事物本质的认识也将逐步地从感性上升为理性。
4特殊与一般
辩证法认为，一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊与一般这一内容至少可以有以下几个方面：
（1）y=kx与y=kx+b;
（2）y=ax2与y=ax2+k;
（3）y=ax2与y=a（x-h）2；
（4）y=ax2与y=ax2+bx+c。
它们之间的关系，均是典型的特殊与一般之间的关系，而这一关系又是辩证统一的。为利于学生认识事物的本质属性，教材中总是先介绍简单的、特殊的内容，然后再逐步推广、逐步加深到较复杂的、更一般的内容，从而引导学生逐步认识事物的本质属性，掌握对事物的认识规律。
5现象与本质
在物质世界中，没有一定的现象，就不能表现出事物的本质，而且其本质常常寓于现象之中。当然，个别现象不一定能暴露出事物的本质，因为本质是若干同类现象的归结。这在数学上也会如此。 例如，初中学生可以顺利地判定方程组的解集为空集，而相对于认识“y=2x+1与y=2x+3表示两条平行直线，自然没有交点”，属于对事物表象——现象的认识；只有达到透彻理解一次函数的概念与性质以后，才算是认识了事物的本质。一元二次方程x2+2x+3=0为什么没有实数解？函数y=x2+2x+3的图象与x轴为什么没有交点？函数y=x2+2x+3的最小值是多少？
6具体与抽象
现代认知科学理论告诉我们，人类对事物本质属性的认识，是由现象到本质、由具体到抽象、由浅入深的渐进过程。细读教材中可以发现，无论是对正比例函数、一次函数、二次函数的研究，还是对反比例函数的图象及性质的讨论，都是从具体到抽象逐步展开论述和论证，从而加深对这些知识的理解的。
7量变与质变
在函数图象的章节中体现量变与质变观点的内容，例子很多，要使学生深刻认识这些内容却是件很不容易的事，因而我们在教学时宜逐步引导，点滴渗透，而后去系统推进对这些内容的理解。
（1）对于一次函数y=kx+b，若从k≠0变为k=0，情况如何？
（2）二次函数y=ax2+bx+c中，规定 a≠0；若令a=0，情况如何？
（3）对于y=kx+b，从k＞0变为k＜0，则其变化特征如何相应变化？
（4）对于二次函数y=ax2+bx+c，若Δ＞0变为Δ=0或Δ＜0，相应的函数图象及性质将如何改变？
8有限与无限
事物或数量中，有限总是表现为具体的，因此我们对这一概念可以列举易于理解，能完全把握；而无限则是抽象的，它是一种运动无限延长的过程，是物的一种变化发展趋势，是一种抽象的理念，需反复渗透方可形成一定程度的认识。
学生可以相对“准确地”“画出函数y=2x-1的图象”，其实只是画出了这个函数图象的一个有限部分，并非全部，即用有限的部分去“表示”“无限”的趋势。在画反比例函数的图象时，关于有限与无限、极限的思想体现得更为充分。例如观察教科书上例题y=3x的图象，当x（或y）的绝对值越大（或越小）时，y（或x）的绝对值如何变化？何谓“无限接近”而“永远不能到达”两坐标轴？
《用辨证的观点看函数及图象》
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陈林新
云南昭通昭阳区第四中学（657000）
数学是一门思维严密、逻辑性很强的学科。在教学中如果教师对所授内容的平铺直叙，势必会使学生对所学知识感到枯燥无味。一方面教师要想方设法激发起学生对数学知识的学习兴趣，另一方面也要引导学生体会知识间的联系并能用辩证观点看待问题。在初中人教版的函数章节中，用辩证的观点看知识间的联系是十分必要的。在这些章教学中最大特点是“变”：变化、变量、运动。
学好这些章节的知识体系，不仅可以帮助学生深化对以前所学过的基础知识的理解，提高数学能力，形成运动、变化、联系的意识，而且能较自然地培养学生辩证唯物主义的世界观。
1常量与变量
在辩证法中，世界上的万事万物，都是相互联系、运动、变化和发展的。常量，是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是没有的。相对的常量是有的，绝对的常量是不存在的。因此，在教学过程中，为帮助学生认识常量与变量这一辩证关系，不妨举如下实例：
⑴匀速直线运动中，速度是常量，时间与路程均为变量，且人在实际运动的过程中，绝对的匀速运动是没有的。
⑵电影院里统计票房收入，对某一个场次和座位类别而言，票价是常量，而售票张数和收入均为变量；但相对于某个较长时间间隔而言，由于演出的内容、种类、档次的不同，其票价仍是一个变量。
2运动与静止
我们根据教材中的具体教学内容，对照人类认识事物的客观规律及青少年实践和知识的发展水平，引导学生逐步认识事物的绝对运动与相对静止这一辩证关系。
例如，我们可以引导学生从教科书上看到的，在练习本或黑板上画出的y=x的图象去思考：这个图象表面上是静止的，但从列表、描点到连线的过程去看却是运动的、变化的。再进一步挖掘，可以发现：画成的图象表面上是完整的，其实是不完整的，因为它还可以向两方无限延伸，即不断运动、发展和变化，画出的函数图象永远只能是局部的，它只能是某个函数图象的一个象征物；同时这一例子也体现了部分与整体的辩证统一。
3内容与形式
在初一下学期，学生学习了方程的有关概念后看到，形如y=2x+1的式子则认为是一个二元一次方程；初二学生刚接触一次函数概念时，会认为y=2x+1表示一个一次函数；当学生用描绘函数图象的一般方法描出y=2x+1的图象后，又认识到y=2x+1表示的是一条直线。从哲学的角度去看，y=2x+1表示一类事物的本质联系，其内容是极其丰富的，而表达这丰富内容的形式却是相同的。从上述例子可见，同一事物在不同的外部条件下具有多种不同的外部表现形式，相同的外部形式可以表示不同的本质内容。随着学生知识的增多和认识能力的提高，他们对事物本质的认识也将逐步地从感性上升为理性。
4特殊与一般
辩证法认为，一般性寓于特殊性之中。教材中涉及特殊与一般这一内容至少可以有以下几个方面：
（1）y=kx与y=kx+b;
（2）y=ax2与y=ax2+k;
（3）y=ax2与y=a（x-h）2；
（4）y=ax2与y=ax2+bx+c。
它们之间的关系，均是典型的特殊与一般之间的关系，而这一关系又是辩证统一的。为利于学生认识事物的本质属性，教材中总是先介绍简单的、特殊的内容，然后再逐步推广、逐步加深到较复杂的、更一般的内容，从而引导学生逐步认识事物的本质属性，掌握对事物的认识规律。
5现象与本质
在物质世界中，没有一定的现象，就不能表现出事物的本质，而且其本质常常寓于现象之中。当然，个别现象不一定能暴露出事物的本质，因为本质是若干同类现象的归结。这在数学上也会如此。 例如，初中学生可以顺利地判定方程组的解集为空集，而相对于认识“y=2x+1与y=2x+3表示两条平行直线，自然没有交点”，属于对事物表象——现象的认识；只有达到透彻理解一次函数的概念与性质以后，才算是认识了事物的本质。一元二次方程x2+2x+3=0为什么没有实数解？函数y=x2+2x+3的图象与x轴为什么没有交点？函数y=x2+2x+3的最小值是多少？
6具体与抽象
现代认知科学理论告诉我们，人类对事物本质属性的认识，是由现象到本质、由具体到抽象、由浅入深的渐进过程。细读教材中可以发现，无论是对正比例函数、一次函数、二次函数的研究，还是对反比例函数的图象及性质的讨论，都是从具体到抽象逐步展开论述和论证，从而加深对这些知识的理解的。
7量变与质变
在函数图象的章节中体现量变与质变观点的内容，例子很多，要使学生深刻认识这些内容却是件很不容易的事，因而我们在教学时宜逐步引导，点滴渗透，而后去系统推进对这些内容的理解。
（1）对于一次函数y=kx+b，若从k≠0变为k=0，情况如何？
（2）二次函数y=ax2+bx+c中，规定 a≠0；若令a=0，情况如何？
（3）对于y=kx+b，从k＞0变为k＜0，则其变化特征如何相应变化？
（4）对于二次函数y=ax2+bx+c，若Δ＞0变为Δ=0或Δ＜0，相应的函数图象及性质将如何改变？
8有限与无限
事物或数量中，有限总是表现为具体的，因此我们对这一概念可以列举易于理解，能完全把握；而无限则是抽象的，它是一种运动无限延长的过程，是物的一种变化发展趋势，是一种抽象的理念，需反复渗透方可形成一定程度的认识。
学生可以相对“准确地”“画出函数y=2x-1的图象”，其实只是画出了这个函数图象的一个有限部分，并非全部，即用有限的部分去“表示”“无限”的趋势。在画反比例函数的图象时，关于有限与无限、极限的思想体现得更为充分。例如观察教科书上例题y=3x的图象，当x（或y）的绝对值越大（或越小）时，y（或x）的绝对值如何变化？何谓“无限接近”而“永远不能到达”两坐标轴？
《用辨证的观点看函数及图象》
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