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例析一次不等式(组)的解题陷阱


  例析一次不等式(组)的解题陷阱
  
  云南省红河县第一中学 杨万春
  
  在实际生活中,不仅存在量的相等关系,量的不等关系更普遍,因而学习数学不但要研究等式也要研究不等式。不等式是中学数学的重要概念,以后学习方程、函数、微积分等课程时经常要用到不等式,因而学习一次不等式(组)我们必须给与足够的重视。我在教学中精选中考题为作业,发现了不少错误,现分析如下:
  
  一、不等式方向理解不到位致错
  
  例1(2012广安)不等式2x+9≥3(x+2)的正整数解是(
  
  )。
  
  不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,但不少学生没改变方向出现错解。
  
  二、去分母时漏乘不含分母的项致错
  
  例2(2010保山,文山,昭通)不等式1/2 x-3≤0的解为( )。
  
  简析:本题错得最多的是去分母时漏乘不含分母的项。
  
  三、多项式漏写括号致错
  
  例3(2010昆明)解不等式组
  
  x-3≤0 ①
  
  x-1/2-2x-1/3>1 ②
  
  简析:解第②个不等式时,由于分子为多项式,应对其加上括号,是保证正确答案的手段。
  
  四、考虑不周全致错
  
  例4(2012襄阳)若不等式组 1+x>a ①
  
  2x-4≤0 ②
  
  有解,则的取值范围是( )
  
  A a≤3 B a<3 C a<2 D a≤2
  
  错解:由①得x>a-1,由②得x≤2, ∴a-1<x≤2,∴a≤3,故选A。
  
  剖析:当a=3时,3-1<x≤2,即2<x≤2,这时出现了矛盾不等式。
  
  正解:以上同,原不等式组的解为a-1<x≤2,∴a<3,故选B。
  
  例5(2011威海)如果不等式组
  
  2x-1>3(x-1) ①
  
  x< m ②
  
  的解集为x<2,那么的取值范围是( )
  
  A m=2 B >m2 C -m<2 D m≥2
  
  错解:由①得x<2,因为不等式组的解为x<2,则m>2,故选B。
  
  剖析:当m=2时,也符合题意;
  
  正解:同上,则m≥2,故选D。
  
  例6(2010荆门市)试确定实数a的取值范围,使不等式组 x/2+ x+1/3>0 ①
  
  x+ 5a+4/3>4/3(x+1)+a ② 恰有两个整数解。
  
  错解:由①得x>-2/5,由②得x<2a
  
  原不等式的解为-2/5<x<2a,由题意得1/2≤a≤1或1/2≤a<1。
  
  剖析:利用数形结合法,画数轴是正确解答的有效途径。
  
  正解:以上同,又由于原不等式组恰有两个整数解0,1,由此可知1<2a≤2,1/2<a≤1。
  
  五、不理解特殊符号或关键词语的含义致错
  
  例7(2012福州)某次知识竞赛共有20道题,每答对一题得5分,答错或不答都扣3分,小亮获得二等奖(70——90分),请你计算小亮答对了几道题?
  
  简析:符号“——”表示70至90分,即用不等号表示应为≥70,≤90,但不少同学理解为>70,<90而错解。
  
  例8(2012南充)学校6教师和234学生集体外出活动,准备租用45座大车或30座小车,若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元,若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元。
  
  (1) 求大小车每辆的租车费用各是多少?
  
  (2)若每辆车上至少要有一名教师,且总租车费用不超过2300元,求最省钱的租车方案?
  
  简析:因为不理解关键词的含义而错用符号,“不超过”是不大于的意思,要注意关键词的应用,“不超过”、“最多”、“不大于”等用“≤”连接;“不少于”、“至少”、“不低于”等用“≥”连接;“高于”、“大于”、“超过”用“>”连接;“小于”、“低于”用“<”连接。
  
  六、不理解不等式组的解集含义致错
  
  例9(2012山西)不等数组
  
  3-2x<5 ①
  
  x-2≤0 ②
  
  的解集是( ) 。
  
  错解:①+②得-x+1<6,解得x>-5。
  
  剖析:解不等式组与解方程组混淆。
  
  正解:由①得-2x<2,x<-1, 由②得x≤3
  
  不等式组的解集是-1<x≤3。
  
  七、忽视零的特殊作用致错
  
  例10 解不等式x-3/2 - x+2/3<x+5/6
  
  错解 去分母得3(x-3)-2(x+2)<x+5
  
  即3x-9-2x-4<x+5
  
  0x<18
  
  因0不能作除数故不等式两边不能同除以0,所以不等式无解。
  
  剖析:得到0x<18后,可以判断0x=0肯定小于18,即对一切实数都可使不等式成立。
  
  正解:以上同0x<18
  
  因为0x=0<18,故对一切实数x都可使原不等式成立。所以不等式的解是一切实数。
  
  例11 ①若a>b,那么ac>bc;②若a>b,那么ac2>bc2;③若ac2>bc2,那么a>b。这三个命题中正确的是( )。
  
  A ①②③ B ① C ② D ③
  
  简析 ①当以c=0或c<0时都是错误的。
  
  虽然c2≥0,但当c=0时,有ac2=bc2,于是②也是错误的。
  
  ③是正确的,于是选D,但不少学生错选A。
  
  学生在解题过程中,出现了这样那样的问题,因而指导学生整理错题集,分析错因,对改掉各种症结是很有益的。 《例析一次不等式(组)的解题陷阱》
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