例析一次不等式（组）的解题陷阱
例析一次不等式（组）的解题陷阱
云南省红河县第一中学 杨万春
在实际生活中，不仅存在量的相等关系，量的不等关系更普遍，因而学习数学不但要研究等式也要研究不等式。不等式是中学数学的重要概念，以后学习方程、函数、微积分等课程时经常要用到不等式，因而学习一次不等式（组）我们必须给与足够的重视。我在教学中精选中考题为作业，发现了不少错误，现分析如下：
一、不等式方向理解不到位致错
例1（2012广安）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是（
）。
不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，但不少学生没改变方向出现错解。
二、去分母时漏乘不含分母的项致错
例2（2010保山，文山，昭通）不等式1/2 x-3≤0的解为（ ）。
简析：本题错得最多的是去分母时漏乘不含分母的项。
三、多项式漏写括号致错
例3（2010昆明）解不等式组
x-3≤0 ①
x-1/2-2x-1/3＞1 ②
简析：解第②个不等式时，由于分子为多项式，应对其加上括号，是保证正确答案的手段。
四、考虑不周全致错
例4（2012襄阳）若不等式组 1+x＞a ①
2x-4≤0 ②
有解，则的取值范围是（ ）
A a≤3 B a<3 C a<2 D a≤2
错解：由①得x>a-1，由②得x≤2， ∴a-1<x≤2，∴a≤3，故选A。
剖析：当a=3时，3-1<x≤2，即2<x≤2，这时出现了矛盾不等式。
正解：以上同，原不等式组的解为a-1<x≤2，∴a<3，故选B。
例5（2011威海）如果不等式组
2x-1>3（x-1） ①
x< m ②
的解集为x<2，那么的取值范围是（ ）
A m=2 B >m2 C -m<2 D m≥2
错解：由①得x<2，因为不等式组的解为x<2，则m>2，故选B。
剖析：当m=2时，也符合题意；
正解：同上，则m≥2，故选D。
例6（2010荆门市）试确定实数a的取值范围，使不等式组 x/2+ x+1/3＞0 ①
x+ 5a+4/3＞4/3（x+1）+a ② 恰有两个整数解。
错解：由①得x>-2/5，由②得x<2a
原不等式的解为-2/5<x<2a，由题意得1/2≤a≤1或1/2≤a<1。
剖析：利用数形结合法，画数轴是正确解答的有效途径。
正解：以上同，又由于原不等式组恰有两个整数解0，1，由此可知1<2a≤2，1/2<a≤1。
五、不理解特殊符号或关键词语的含义致错
例7（2012福州）某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣3分，小亮获得二等奖（70——90分），请你计算小亮答对了几道题？
简析：符号“——”表示70至90分，即用不等号表示应为≥70，≤90，但不少同学理解为>70，<90而错解。
例8（2012南充）学校6教师和234学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车，若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元，若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元。
（1） 求大小车每辆的租车费用各是多少？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案？
简析：因为不理解关键词的含义而错用符号，“不超过”是不大于的意思，要注意关键词的应用，“不超过”、“最多”、“不大于”等用“≤”连接；“不少于”、“至少”、“不低于”等用“≥”连接；“高于”、“大于”、“超过”用“>”连接；“小于”、“低于”用“<”连接。
六、不理解不等式组的解集含义致错
例9（2012山西）不等数组
3-2x<5 ①
x-2≤0 ②
的解集是（ ） 。
错解：①+②得-x+1<6，解得x>-5。
剖析：解不等式组与解方程组混淆。
正解：由①得-2x<2，x<-1， 由②得x≤3
不等式组的解集是-1<x≤3。
七、忽视零的特殊作用致错
例10 解不等式x-3/2 - x+2/3<x+5/6
错解 去分母得3（x-3）-2（x+2）<x+5
即3x-9-2x-4<x+5
0x<18
因0不能作除数故不等式两边不能同除以0，所以不等式无解。
剖析：得到0x<18后，可以判断0x=0肯定小于18，即对一切实数都可使不等式成立。
正解：以上同0x<18
因为0x=0<18，故对一切实数x都可使原不等式成立。所以不等式的解是一切实数。
例11 ①若a>b，那么ac>bc；②若a>b，那么ac2>bc2；③若ac2>bc2，那么a>b。这三个命题中正确的是（ ）。
A ①②③ B ① C ② D ③
简析 ①当以c=0或c<0时都是错误的。
虽然c2≥0，但当c=0时，有ac2=bc2，于是②也是错误的。
③是正确的，于是选D，但不少学生错选A。
学生在解题过程中，出现了这样那样的问题，因而指导学生整理错题集，分析错因，对改掉各种症结是很有益的。 《例析一次不等式（组）的解题陷阱》
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云南省红河县第一中学 杨万春
在实际生活中，不仅存在量的相等关系，量的不等关系更普遍，因而学习数学不但要研究等式也要研究不等式。不等式是中学数学的重要概念，以后学习方程、函数、微积分等课程时经常要用到不等式，因而学习一次不等式（组）我们必须给与足够的重视。我在教学中精选中考题为作业，发现了不少错误，现分析如下：
一、不等式方向理解不到位致错
例1（2012广安）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是（
）。
不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，但不少学生没改变方向出现错解。
二、去分母时漏乘不含分母的项致错
例2（2010保山，文山，昭通）不等式1/2 x-3≤0的解为（ ）。
简析：本题错得最多的是去分母时漏乘不含分母的项。
三、多项式漏写括号致错
例3（2010昆明）解不等式组
x-3≤0 ①
x-1/2-2x-1/3＞1 ②
简析：解第②个不等式时，由于分子为多项式，应对其加上括号，是保证正确答案的手段。
四、考虑不周全致错
例4（2012襄阳）若不等式组 1+x＞a ①
2x-4≤0 ②
有解，则的取值范围是（ ）
A a≤3 B a<3 C a<2 D a≤2
错解：由①得x>a-1，由②得x≤2， ∴a-1<x≤2，∴a≤3，故选A。
剖析：当a=3时，3-1<x≤2，即2<x≤2，这时出现了矛盾不等式。
正解：以上同，原不等式组的解为a-1<x≤2，∴a<3，故选B。
例5（2011威海）如果不等式组
2x-1>3（x-1） ①
x< m ②
的解集为x<2，那么的取值范围是（ ）
A m=2 B >m2 C -m<2 D m≥2
错解：由①得x<2，因为不等式组的解为x<2，则m>2，故选B。
剖析：当m=2时，也符合题意；
正解：同上，则m≥2，故选D。
例6（2010荆门市）试确定实数a的取值范围，使不等式组 x/2+ x+1/3＞0 ①
x+ 5a+4/3＞4/3（x+1）+a ② 恰有两个整数解。
错解：由①得x>-2/5，由②得x<2a
原不等式的解为-2/5<x<2a，由题意得1/2≤a≤1或1/2≤a<1。
剖析：利用数形结合法，画数轴是正确解答的有效途径。
正解：以上同，又由于原不等式组恰有两个整数解0，1，由此可知1<2a≤2，1/2<a≤1。
五、不理解特殊符号或关键词语的含义致错
例7（2012福州）某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得5分，答错或不答都扣3分，小亮获得二等奖（70——90分），请你计算小亮答对了几道题？
简析：符号“——”表示70至90分，即用不等号表示应为≥70，≤90，但不少同学理解为>70，<90而错解。
例8（2012南充）学校6教师和234学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车，若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元，若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元。
（1） 求大小车每辆的租车费用各是多少？
（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总租车费用不超过2300元，求最省钱的租车方案？
简析：因为不理解关键词的含义而错用符号，“不超过”是不大于的意思，要注意关键词的应用，“不超过”、“最多”、“不大于”等用“≤”连接；“不少于”、“至少”、“不低于”等用“≥”连接；“高于”、“大于”、“超过”用“>”连接；“小于”、“低于”用“<”连接。
六、不理解不等式组的解集含义致错
例9（2012山西）不等数组
3-2x<5 ①
x-2≤0 ②
的解集是（ ） 。
错解：①+②得-x+1<6，解得x>-5。
剖析：解不等式组与解方程组混淆。
正解：由①得-2x<2，x<-1， 由②得x≤3
不等式组的解集是-1<x≤3。
七、忽视零的特殊作用致错
例10 解不等式x-3/2 - x+2/3<x+5/6
错解 去分母得3（x-3）-2（x+2）<x+5
即3x-9-2x-4<x+5
0x<18
因0不能作除数故不等式两边不能同除以0，所以不等式无解。
剖析：得到0x<18后，可以判断0x=0肯定小于18，即对一切实数都可使不等式成立。
正解：以上同0x<18
因为0x=0<18，故对一切实数x都可使原不等式成立。所以不等式的解是一切实数。
例11 ①若a>b，那么ac>bc；②若a>b，那么ac2>bc2；③若ac2>bc2，那么a>b。这三个命题中正确的是（ ）。
A ①②③ B ① C ② D ③
简析 ①当以c=0或c<0时都是错误的。
虽然c2≥0，但当c=0时，有ac2=bc2，于是②也是错误的。
③是正确的，于是选D，但不少学生错选A。
学生在解题过程中，出现了这样那样的问题，因而指导学生整理错题集，分析错因，对改掉各种症结是很有益的。 《例析一次不等式（组）的解题陷阱》
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