寿险中的破产理论及应用

一、引言
　　在我国保险公司的运作中，保费收入是主要收入来源，理陪是主要风险因素，为了保障保险公司的正常运作，保险公司必须充分考虑所面临的风险，而破产理论的研究主要针对保险公司如何估计所面临的风险，它主要研究在较长时间上保险公司发生盈余或破产的概率，以前我们所研究的破产理论主要是针对非寿险进行研究，并且主要考虑在理赔次数N(t)为泊松过程，理赔额S(t)为复合泊松过程情况下的盈余过程，在非寿险研究中得到一个Lundberg不等式，这个破产概率上界为保险公司的风险分析提供了有力工具。
　　本文利用（文献[1]）风险理论，考虑在寿险中破产理论的研究，得到寿险破产模型，设计了求解寿险中的破产概率的一种算法，并得到寿险破产概率的一个上界。
　　  二、单一年龄结构下的破产模型
　　设寿险中，刚投保时（t=0时刻），年龄均为x的被保险人有n[,1]个，每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命表，初始准备金为u[,1]，并且设
　　n[,k]：第k年年初时的被保险人数
　　c：被保险人每年所交的保险费
　　d[,k]：第k年内(k,k+1)被保险人死亡的人数  (1)
　　q[,x]；被保险人在(x,x+1)死亡的人数的概率
　　b：每个被保险人死亡时，保险人要支付的保险金
　　由此假定我们知：
　　t=0时刻被保险人的总数n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。
　　定义1  对任意t＞0，设c＞0为单位时间内的保费收入率，s(t)为到时刻t保险公司支付的理赔总额，u(0)=u为时刻0时的初始准备金，则  
u(t)=u+ct-s(t)　　(2)

　　
　　称为时刻t时的盈余
　　由(2)可见：这里的盈余并没有考虑除了保费和理赔以外的影响盈余的因素，如附加费和保单持有人的分红等，显然，这种盈余并不是财务意义上的盈余，只是为了数学上处理方便而已…当盈余在某一时刻为负时，我们称“破产”发生，既然此处盈余并不是财务意义上的盈余，则此时破产就不等价于保险公司真的破产，但破产是衡量保险公司金融风险的极其重要的尺度。我们仅定义时间不连续时的破产概率
　　定义2  称Ψ[,t](u,n)=Pr｛u(t)＜0/｛u(τ)≥0，对某τ,τ=1,2,…t-1｝，为给定u,n时，第t年首次出现破产的概率。
　　设u[,k]表示第k年年初的准备金，且此时尚未收取第k年的保险费，v[,k]表示第k年年末的准备金，且此时尚未支付第k年年末的保险金，i是常数利率，则  
v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i)　u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]

　　
　　定理1  寿险中，设初始准备金为u[,1],t=0时刻被保险人的总数n[,1]，且，c,q[,x],b满足(1)的假设条件，则保险人在第t年末的破产概率
　　附图
　　证明：被保险人在第一年末，可能发生死亡也可能不发生死亡，当死亡时，保险人由于支付保险金，可能导致破产发生，也可能不发生破产，我们考虑临界状态：即第1年年初所收保费与初始准备金之和等于第一年年末支付的保险金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i)，即
　　附图
　　对给定的n[,1]，在第1年内死亡人数的概率分布服从参数为(n[,1],q[,x])的二项分布，由此我们推得：
　　附图
　　注：定理1给出求解破产概率的公式，实际上我们可以利用迭代法求解保险期内任意年的破产概率。
　　实际上，寿险保险人数相当大，而且被保险人死亡的概率非常小，存活过保险期的人数也相当大。我们知道二项分布中当n[,1]充分大，q[,x]充分小时，由概率论中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二项分布，记λ[,1]=n[,1]q[,x]，由泊松定理及定理1可得：
　　推论1  寿险中，设初始准备金为u[,1],t=0时刻被保险人的总数n[,1]，且c,d[,k],q[,x],b满足(1)的假设条件，则保险人在第t年末的破产概率
　　附图
　　  三、不同年龄结构下的破产模型
　　为便于研究，对寿险中的被保险人进行分组，不妨设，刚投保时（t=0时刻），年龄为x(j)的被保险人有n[,1](j)个，共分成m组（这m组相互独立，且每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命表），初始准备金为u[,1]，并且设
　　n[,k](j)表示第k年年初时的第j组的被保险人数
　　c(j)表示第j组的被保险人每年所交的保险费  (3)
　　d[,k](j)表示第k年内(k,k+1)第j组保险人死亡的人数
　　q[,x(j)]表示第j组被保险人在(x,x+1)死亡的人数的概率
　　b表示每个被保险人死亡时保险人要支付的保险金
　　由此假定我们知：
　　附图
　　附图
　　  四、破产概率上界
　　在非寿险破产理论研究中，人们得到破产概率的上界，即Lundberg不等式。本文证明了在寿险破产理论研究中，破产概率的上界仍然满足Lundberg不等式。
　　附图
　　附图
　　定理2  寿险中，初始准备金为u[,1]，初始投保人数为N，则保险人的破产概率满足：
　　附图
　　由定理2我们看到当初始准备金u增大（减小）时，破产概率上界减少（增大），即破产概率相应减小（增大），u趋于无穷时，破产概率为0。
　　  五、算例
　　设对于保险期限为10年期的定期保险，有两组被保险人，当t=0时，第一组被保险人数50人，年龄为40岁，第二组被保险人数100人，年龄为50岁，第一组被保险人每年交150元人民币，第二组被保险人每年交250元人民币，假定每个被保险人死亡时，保险人支付30000元人民币保险金，利率i=0.03，死亡率遵循[2]附录的生命表，由推论2和定理2可得：初始准备金为一万元人民币时，破产概率上界=0.36788
　　附图
　　初始准备金为0时，破产概率上界=1
　　由此我们看到初始准备金增加时，破产概率减小，破产概率上界减小。
　　附图
　　  六、结论
　　本文对寿险中破产理论进行研究，给出了寿险中求解破产概率的一种算法，这种算法对于求解非寿险的破产概率仍然成立，并得到具有与非寿险破产概率相同的上界。这对促进寿险和非寿险风险理论研究的统一，具有抛砖引玉的作用。但在考虑影响保险公司盈余的附加费和保单持有人分红等因素在破产理论中的研究仍需进一步探讨。
【责任编辑】黄立虎
【参考文献】
　　1  成世学，严颖译.数学风险导引[M].北京：

世界图书出版公司，1997.
　　2  雷宇.寿险精算学[M].北京：北京大学出版社，1998.
　　3  David,C.M.Dickson.Ruin  Probabilities  with  compounding  assets[J].Insurance:mathematics  and  Economics,1999,25:49-62.
　　4  Etienne  Marceacl.On  life  insurance  reserves  in  a  stochastic  mortality  and  interest[J].Insurance:mathematics  and  Economics.1999,25:261-280.
　　5  Thomas  Siegl,Robert  F.Tichy.Ruin  theory  with  risk  proportional  to  the  free  reserve  and  securitization[J].Insurance:  mathematics  and  Economics,1999,26:59-73.

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