天道崇美·人性好美
一、黄金分割研究史
古希腊人朴素的自然科学研究影响西方文化和文明的发展，他们重视分析、分解、假设、推理、推导、实验、验证等思维方式。这与东方重视整体、模糊处理、直觉综合、和谐大同、“仁者爱人”等思维方式和思想有明显的差别。胡适在“中国的文艺复兴”一文中说“当孟子在对人性的内在美德进行理论探讨时，欧几里德正在完善几何学，正在奠定欧洲的自然科学的基础。”这种说法不全面，东方的中华文明有过比西方更辉煌的历史，但在五百多年来，西方经历了继承希腊的文艺复兴和工业革命，使科学和技术快速发展，而中国因封建统治和闭关锁国等原因而衰落。现在应该撷取东西方文明的长处，把它们整合起来，创建中华夏兴。
“科学中的美和美的科学”，早期属于自然哲学，自古希腊人开始研究，至今约有2500年。古希腊人喜欢抽象研究。抽象研究又分为逻辑推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圆规。代数和平面几何为两者的典型代表。
古希腊人曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解为：。棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G, G=0.618033988≈0.618。
而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互为倒数。
偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮的结果。欧几里德（约公元前330-257年）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。（可阅《美感》，许康，2000）
螺旋在大自然中到处存在，从银河系外的螺旋星云，到地球上的台风、龙卷风、贝壳、动物的角，植物的攀缘，小至生物遗传基因等等。它们中有些令人恐惧，有些令人愉悦，有些令人迷惑不解，但都引起人们的研究兴趣。最早研究螺旋的乃是古希腊人阿基米德（公元前287-212年）。他的主要贡献是发观扛杆原理、浮力原理和阿基米德螺旋线。（可参阅《贝壳的自然史》、《对称》、《生命的曲线》等中文书籍）
自然界的形成、运行、演化、生长、繁衍、消亡等都是有规律的，有些物体可以直接感到自然美，但更多的物体令人迷惑不解。我们深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其规律，使人感受到深层次的自然美和科学美。这就是“因人而彰”。本文介绍和探讨黄金分割律，就是想梳理和探讨这种自然美和科学美。人有爱美的天性，而且人本身也是很精美的。“天道崇美，人性好美”有普遍性，无论是天然物品还是人工制品，形态的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴随着美的外形。探讨黄金分割律可能对西方的思维方式和对美的认识有所帮助。
二、葵花子 模特儿 五角星
这里，举三个例子说明存在黄金分割律和分割值。
1、葵花子
葵花子在花盘上的排列呈螺旋线，有顺时针方向和逆时针方向，葵花子就生长在两列螺旋线的交叉点上，见图1。花盘上有21列逆时针，34列顺时针；或34列逆时针，55列顺时针。其它如菠萝表皮上的疙瘩（见图2），斜向左下方的有8列，向右下方的有13列。松树果球的鳞片也有螺旋状排列，向左下或右下有5列，反向为8列；也有各为8列和13列的。这些奇怪的数字之间又有什么关系？原来它们都属于费波纳契(Fibonacci)数列。它的规则很简单，前面邻近两项之和就是下一项(a[,n]=a[,n-1]+a[,n-2])。如令a[,1]=1,a[,2]=2，就可以写出费波纳契数列为：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,治理发愣功,987,……这些数列有一个特点，就是前项被后项除(a[,n-1/a[,n])，其值从第八项以后均接近0.618。可以严格证明，当n很大时，a[,n=1]/a[,n]等于黄金分割值G。原来这些天然生长的螺旋列均与黄金分割有关联，怪不得这样有序、和谐。直到上世纪末才有人证明，这样有序排列可以使同样面积上排列最多的种子和疙瘩数。但这些植物怎样知道和控制这些有序生长呢？
附图
2、模特儿
人的本身是很精美的。模特儿要长得比例匀称和谐。匀称的人，肚脐应是他（她）的黄金分割点。黄金分割问题引起许多艺术家的兴趣。例如达·芬奇在《绘画论》中称之为“神圣比例”，认为美感完全建立在各部分之间的比例上，各要素必须同时发生作用才能奏效。
要讨论这个问题，还得从黄金分割值G谈起。令Φ=(1+G)，则Φ[1]=0+Φ=1.618,Φ[2]=1+Φ=2.618,Φ[3]=1+2Φ=4.236,Φ[4]=2+3 Φ=6.854,Φ[5]=3+5Φ=11.090,Φ[6]=5+8Φ=17.944,Φ[7]=8+13Φ=29.034,Φ[8]=13+21Φ=46.979,……;Φ[0]=1.000,Φ[-1]=-1+Φ=0.618,Φ[-2]=2-Φ=0.382,Φ[-3]=-3+2Φ=0.236,Φ[-4]=5-3Φ=0.146,Φ[-5]=-8+5Φ=0.090，……这里又反复出现费波纳契数。
图3示出一位艺术家所研究的模特儿的各部分的比例关系，可以看出各部分有美妙、和谐的比例，肚脐以上和以下的比例为(Φ[1]+1+Φ[1]+Φ[2]+Φ[3])/(Φ[4]+Φ[5])=11.090/17.944=0.618。可见这个模特儿多么合乎黄金分割规律，真是美妙之极。实际上，人的比例与此会有偏离，人们也不必为此而怨天尤人。
附图
图3 一位艺术家的模特儿（引自《生命的曲线》第597页）
3、五角星
新中国成立以后，人们都钟爱五角星，因为国旗上有五颗五角星。2300多年前古希腊人就已知道用直尺和圆规求解黄金分割值G和制作五角星。此法被欧几里德编入《几何原理》。这里，简单介绍求G值和画五角星的方法。
先画一个正方形ABCD（见图4a），找出AB的中点E，画直线EC，并在AB的延长线上找出F，使EF=EC，即可找到BF/AB=G和AF/AB=1+G。（用勾股弦定律即可证明）。设正方形的每边长为1，则BF=G≈0.618。
再以B为圆心，画通过A、B的圆（见图4b），三角形BCF的每边CF、BC和BF就是这个圆的内接正五边形、正六边形和正十边形的边长。如以C为起点，在圆周上找出五等分点，就可画出五角星，如图4b所示。这就是2300多年前古希腊人画五角星的方法。
附图
中国人重视对称美，北京的故宫建筑就具有庄严的对称美。通过五角星的顶点和圆心画一条直线，此直线就是镜像左右对称线。此种镜像对称线可画五条。另一种对称称为旋转对称。以五角星的中心为轴，每旋转72β(360β/5
附图
三、螺旋
天道崇美，螺旋在大自然中到处存在，通常体现自然美。在工业产品中更是常见，如螺丝钉、螺旋桨、钟表发条等等。这里，对动植物中常见的螺旋和科学实验中出现的螺旋作简略介绍。
1、数学螺旋
除了前面提到的阿基米德螺旋线（ρ＝αθ）外，还有一种叫等角螺旋线，也叫对数螺旋（ρ＝e[αθ]），1638年笛卡尔首先研究）。它普遍存在于自然界、建筑设计和艺术创作中。它们都属于平面螺旋。如将ρ随θ再与Z轴发生联系，使Z轴成为螺旋轴，便构成立体螺旋。
这里介绍一种由长方形形成的特殊螺旋。在图4a中介绍了BFC三角形的画法，如补上同样的倒三角形，即可得一个奇妙的长方形AFHD，如图6 《天道崇美·人性好美》
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古希腊人朴素的自然科学研究影响西方文化和文明的发展，他们重视分析、分解、假设、推理、推导、实验、验证等思维方式。这与东方重视整体、模糊处理、直觉综合、和谐大同、“仁者爱人”等思维方式和思想有明显的差别。胡适在“中国的文艺复兴”一文中说“当孟子在对人性的内在美德进行理论探讨时，欧几里德正在完善几何学，正在奠定欧洲的自然科学的基础。”这种说法不全面，东方的中华文明有过比西方更辉煌的历史，但在五百多年来，西方经历了继承希腊的文艺复兴和工业革命，使科学和技术快速发展，而中国因封建统治和闭关锁国等原因而衰落。现在应该撷取东西方文明的长处，把它们整合起来，创建中华夏兴。
“科学中的美和美的科学”，早期属于自然哲学，自古希腊人开始研究，至今约有2500年。古希腊人喜欢抽象研究。抽象研究又分为逻辑推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圆规。代数和平面几何为两者的典型代表。
古希腊人曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解为：。棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G, G=0.618033988≈0.618。
而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互为倒数。
偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮的结果。欧几里德（约公元前330-257年）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。（可阅《美感》，许康，2000）
螺旋在大自然中到处存在，从银河系外的螺旋星云，到地球上的台风、龙卷风、贝壳、动物的角，植物的攀缘，小至生物遗传基因等等。它们中有些令人恐惧，有些令人愉悦，有些令人迷惑不解，但都引起人们的研究兴趣。最早研究螺旋的乃是古希腊人阿基米德（公元前287-212年）。他的主要贡献是发观扛杆原理、浮力原理和阿基米德螺旋线。（可参阅《贝壳的自然史》、《对称》、《生命的曲线》等中文书籍）
自然界的形成、运行、演化、生长、繁衍、消亡等都是有规律的，有些物体可以直接感到自然美，但更多的物体令人迷惑不解。我们深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其规律，使人感受到深层次的自然美和科学美。这就是“因人而彰”。本文介绍和探讨黄金分割律，就是想梳理和探讨这种自然美和科学美。人有爱美的天性，而且人本身也是很精美的。“天道崇美，人性好美”有普遍性，无论是天然物品还是人工制品，形态的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴随着美的外形。探讨黄金分割律可能对西方的思维方式和对美的认识有所帮助。
二、葵花子 模特儿 五角星
这里，举三个例子说明存在黄金分割律和分割值。
1、葵花子
葵花子在花盘上的排列呈螺旋线，有顺时针方向和逆时针方向，葵花子就生长在两列螺旋线的交叉点上，见图1。花盘上有21列逆时针，34列顺时针；或34列逆时针，55列顺时针。其它如菠萝表皮上的疙瘩（见图2），斜向左下方的有8列，向右下方的有13列。松树果球的鳞片也有螺旋状排列，向左下或右下有5列，反向为8列；也有各为8列和13列的。这些奇怪的数字之间又有什么关系？原来它们都属于费波纳契(Fibonacci)数列。它的规则很简单，前面邻近两项之和就是下一项(a[,n]=a[,n-1]+a[,n-2])。如令a[,1]=1,a[,2]=2，就可以写出费波纳契数列为：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,治理发愣功,987,……这些数列有一个特点，就是前项被后项除(a[,n-1/a[,n])，其值从第八项以后均接近0.618。可以严格证明，当n很大时，a[,n=1]/a[,n]等于黄金分割值G。原来这些天然生长的螺旋列均与黄金分割有关联，怪不得这样有序、和谐。直到上世纪末才有人证明，这样有序排列可以使同样面积上排列最多的种子和疙瘩数。但这些植物怎样知道和控制这些有序生长呢？
附图
2、模特儿
人的本身是很精美的。模特儿要长得比例匀称和谐。匀称的人，肚脐应是他（她）的黄金分割点。黄金分割问题引起许多艺术家的兴趣。例如达·芬奇在《绘画论》中称之为“神圣比例”，认为美感完全建立在各部分之间的比例上，各要素必须同时发生作用才能奏效。
要讨论这个问题，还得从黄金分割值G谈起。令Φ=(1+G)，则Φ[1]=0+Φ=1.618,Φ[2]=1+Φ=2.618,Φ[3]=1+2Φ=4.236,Φ[4]=2+3 Φ=6.854,Φ[5]=3+5Φ=11.090,Φ[6]=5+8Φ=17.944,Φ[7]=8+13Φ=29.034,Φ[8]=13+21Φ=46.979,……;Φ[0]=1.000,Φ[-1]=-1+Φ=0.618,Φ[-2]=2-Φ=0.382,Φ[-3]=-3+2Φ=0.236,Φ[-4]=5-3Φ=0.146,Φ[-5]=-8+5Φ=0.090，……这里又反复出现费波纳契数。
图3示出一位艺术家所研究的模特儿的各部分的比例关系，可以看出各部分有美妙、和谐的比例，肚脐以上和以下的比例为(Φ[1]+1+Φ[1]+Φ[2]+Φ[3])/(Φ[4]+Φ[5])=11.090/17.944=0.618。可见这个模特儿多么合乎黄金分割规律，真是美妙之极。实际上，人的比例与此会有偏离，人们也不必为此而怨天尤人。
附图
图3 一位艺术家的模特儿（引自《生命的曲线》第597页）
3、五角星
新中国成立以后，人们都钟爱五角星，因为国旗上有五颗五角星。2300多年前古希腊人就已知道用直尺和圆规求解黄金分割值G和制作五角星。此法被欧几里德编入《几何原理》。这里，简单介绍求G值和画五角星的方法。
先画一个正方形ABCD（见图4a），找出AB的中点E，画直线EC，并在AB的延长线上找出F，使EF=EC，即可找到BF/AB=G和AF/AB=1+G。（用勾股弦定律即可证明）。设正方形的每边长为1，则BF=G≈0.618。
再以B为圆心，画通过A、B的圆（见图4b），三角形BCF的每边CF、BC和BF就是这个圆的内接正五边形、正六边形和正十边形的边长。如以C为起点，在圆周上找出五等分点，就可画出五角星，如图4b所示。这就是2300多年前古希腊人画五角星的方法。
附图
中国人重视对称美，北京的故宫建筑就具有庄严的对称美。通过五角星的顶点和圆心画一条直线，此直线就是镜像左右对称线。此种镜像对称线可画五条。另一种对称称为旋转对称。以五角星的中心为轴，每旋转72β(360β/5
)即可与原图重合，可重复五次，称为五重对称。五角星由直线和尖角组成，具有庄严阳刚之美。如将尖角换成花瓣，则成为五瓣花朵，如梅花、桃花等，就具有妩媚温柔之美。图5 Ⅰ、Ⅱ给出两朵五瓣花（引自《对称》图39），其中Ⅰ是天竺葵，它具有五重旋转对称和镜像对称；Ⅱ是草本长春花，它只具五重旋转对称。
附图
三、螺旋
天道崇美，螺旋在大自然中到处存在，通常体现自然美。在工业产品中更是常见，如螺丝钉、螺旋桨、钟表发条等等。这里，对动植物中常见的螺旋和科学实验中出现的螺旋作简略介绍。
1、数学螺旋
除了前面提到的阿基米德螺旋线（ρ＝αθ）外，还有一种叫等角螺旋线，也叫对数螺旋（ρ＝e[αθ]），1638年笛卡尔首先研究）。它普遍存在于自然界、建筑设计和艺术创作中。它们都属于平面螺旋。如将ρ随θ再与Z轴发生联系，使Z轴成为螺旋轴，便构成立体螺旋。
这里介绍一种由长方形形成的特殊螺旋。在图4a中介绍了BFC三角形的画法，如补上同样的倒三角形，即可得一个奇妙的长方形AFHD，如图6 《天道崇美·人性好美》
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