1995─2010年甘肃省粮食产量的趋势预测
研究粮食生产波动与消费并对未来情况的作出预测，是粮食问题宏观决策和控制的主要条件。短期研究一般应用多元统计的回归分析方法，从价格、比较效益、投入、经营方式等方面对波动给出了事后解释，却没有令人满意的事前预测。的确，农业生产的独特性增加了对它预测的难度，因为事先并不知道当年农业实际投入与未来实际气候条件。所以，“避开”上述这一切因素，仅仅研究这些因素交互作用下的客体(粮食)自身的变化，以求得某种规律。本文正是基于这种思想，根据1949──1994年甘肃省粮食产量历史资料，运用自回归动平均模型(简称ARIMA模型)，对我省未来粮食生产量情况所做的一次有益的尝试性研究。
一、三因素的选择
一个经济时间序列｛ｘt｝(t＝1,2,…,n)，通常认为由三种因素组成，即长期趋势、周期因素(季节因素)、随机因素。对于一个时间序列，宜于选用自相关分析图来判别序列的平稳性与周期，并且通过自相关和偏相关分析图确定ARIMA模型的自回归阶p与动平阶q。
⒈自相关系数
n-kt=1∑(Xt-X)Xt+k-X)
rk＝─────────
nt=1∑(Xt-X)2
其中X为｛Xt｝(t＝1,2,…,n)的平均值，rk为滞后k期的自相关系数。
(1)平稳性识别
如果rj(j＝1,…,k)随着j增大而迅速靠近零，或散乱地分布在零点周围，则认为序列平稳；否则非平稳。对于非平稳序列，通过差分，消除其趋势。
(2)周期识别
对于一平稳序列，观察其自相关分析图，如果每隔时间T，自相关系数显著偏高，可以认为该序列具有周期T；否则，无周期(无季节性)。
⒉偏自相关系数
在已知自相关系数的条件下，解如下一系列方程组：
│1 r1 …… rk-1││ρk1│ │r1│
│r1 1 …… rk-2││ρk2│＝│r2│
│ ││ │ ││
│rk-1 … … 1 ││ρkk│ │rk│
得到偏自相关系数ρ11，ρ22，…，ρkk。然后根据自相关系数和偏自相关系数的截尾与拖尾确定自回归阶p与动平均阶q。
⒊参数估计。
二、周期的确立
“经济周期也叫商业循环或经济波动，这种周期在每一次重复出现中，周期的长度和振幅都不同，完全相似的经济周期是不存在的”，“只有经济从一个高峰到另一个高峰，或者从一个底谷到另一个底谷，波动的时间在15个月以上，才可以算作一个经济周期”。这种对经济周期的定义，笔者认为着重于对经济的事后分析而不是事前预测，并且忽略了两个极其重要的事实：即经济数据的离散性和由于经济增长趋势的影响，可能使后期的底谷值大于前期的高峰值，这样就使对底谷的预见性大幅度降低，造成了对经济周期研究困难性进一步加大。
可以考虑通过差分方法剔除趋势项，并把根据自相关分析图得到的周期视为经济周期。它如同一个数学函数如y=SinX周期(最小正周期2π)，并不规定周期有某种特定的始末点(如高峰点或低谷点)，仅仅要求它使函数满足Sin(2π+X)＝SinX(Sin(2kπ+X)＝SinX，k=±1,…)，或具有统计意义上的类似关系。当然一个周期是否有效或有意义，就看采用这个周期所做的预测模型，是否能够拟合和反映现实。经过差分、计算、分析、筛选和拟合预测结果及对比，最后确定全省粮食生产周期T＝8或10年。
⒈趋势项的剔除
令 X(1)t＝Xt+1-Xt,然后进行平稳性识别，如不平稳，继续差分，直至得到一平稳序列｛Zt｝(t＝1,2,…,m≤n)。
⒉周期项的剔除
观察｛Zt｝的自相关分析图，从可能的周期5、8、10、11年中，经过计算分析筛选，最后确定全省粮食生产周期T=8年。
令 Yt＝Zt+T-Zt
得到一个无周期的平稳序列｛Yt｝(t＝1,2,…,m-T)。
三、粮食产量预测与分析
根据1949─1994年粮食产量历史数据，对1995─2010年产量进行多步预测，分别选用ARIMA(9,1,9)、ARIMA(2,1,2)、ARIMA(9,1,12)模型，预测方程如下：
(1-Φ1B-…-ΦpBp)·(1-B)dXt=(1-Θ1B-…-ΘqBq)Ξt
其中：p=9,2,9，d=1，q=9,2,12。预测结果见表。
未来甘肃省粮食产量预测表 单位：万吨
年 份 低 值 中 值 高 值
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
598.11
703.12
713.30
773.89
769.78
768.82
813.36
854.18
719.58
766.91
857.17
931.92
904.36
935.52
994.90
971.99
689.30
751.20
794.85
841.07
816.70
844.72
907.11
865.86
849.22
912.47
957.41
1004.89
981.76
1011.04
1074.68
1034.69
696.37
766.61
762.98
846.38
850.69
860.11
911.38
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一、三因素的选择
一个经济时间序列｛ｘt｝(t＝1,2,…,n)，通常认为由三种因素组成，即长期趋势、周期因素(季节因素)、随机因素。对于一个时间序列，宜于选用自相关分析图来判别序列的平稳性与周期，并且通过自相关和偏相关分析图确定ARIMA模型的自回归阶p与动平阶q。
⒈自相关系数
n-kt=1∑(Xt-X)Xt+k-X)
rk＝─────────
nt=1∑(Xt-X)2
其中X为｛Xt｝(t＝1,2,…,n)的平均值，rk为滞后k期的自相关系数。
(1)平稳性识别
如果rj(j＝1,…,k)随着j增大而迅速靠近零，或散乱地分布在零点周围，则认为序列平稳；否则非平稳。对于非平稳序列，通过差分，消除其趋势。
(2)周期识别
对于一平稳序列，观察其自相关分析图，如果每隔时间T，自相关系数显著偏高，可以认为该序列具有周期T；否则，无周期(无季节性)。
⒉偏自相关系数
在已知自相关系数的条件下，解如下一系列方程组：
│1 r1 …… rk-1││ρk1│ │r1│
│r1 1 …… rk-2││ρk2│＝│r2│
│ ││ │ ││
│rk-1 … … 1 ││ρkk│ │rk│
得到偏自相关系数ρ11，ρ22，…，ρkk。然后根据自相关系数和偏自相关系数的截尾与拖尾确定自回归阶p与动平均阶q。
⒊参数估计。
二、周期的确立
“经济周期也叫商业循环或经济波动，这种周期在每一次重复出现中，周期的长度和振幅都不同，完全相似的经济周期是不存在的”，“只有经济从一个高峰到另一个高峰，或者从一个底谷到另一个底谷，波动的时间在15个月以上，才可以算作一个经济周期”。这种对经济周期的定义，笔者认为着重于对经济的事后分析而不是事前预测，并且忽略了两个极其重要的事实：即经济数据的离散性和由于经济增长趋势的影响，可能使后期的底谷值大于前期的高峰值，这样就使对底谷的预见性大幅度降低，造成了对经济周期研究困难性进一步加大。
可以考虑通过差分方法剔除趋势项，并把根据自相关分析图得到的周期视为经济周期。它如同一个数学函数如y=SinX周期(最小正周期2π)，并不规定周期有某种特定的始末点(如高峰点或低谷点)，仅仅要求它使函数满足Sin(2π+X)＝SinX(Sin(2kπ+X)＝SinX，k=±1,…)，或具有统计意义上的类似关系。当然一个周期是否有效或有意义，就看采用这个周期所做的预测模型，是否能够拟合和反映现实。经过差分、计算、分析、筛选和拟合预测结果及对比，最后确定全省粮食生产周期T＝8或10年。
⒈趋势项的剔除
令 X(1)t＝Xt+1-Xt,然后进行平稳性识别，如不平稳，继续差分，直至得到一平稳序列｛Zt｝(t＝1,2,…,m≤n)。
⒉周期项的剔除
观察｛Zt｝的自相关分析图，从可能的周期5、8、10、11年中，经过计算分析筛选，最后确定全省粮食生产周期T=8年。
令 Yt＝Zt+T-Zt
得到一个无周期的平稳序列｛Yt｝(t＝1,2,…,m-T)。
三、粮食产量预测与分析
根据1949─1994年粮食产量历史数据，对1995─2010年产量进行多步预测，分别选用ARIMA(9,1,9)、ARIMA(2,1,2)、ARIMA(9,1,12)模型，预测方程如下：
(1-Φ1B-…-ΦpBp)·(1-B)dXt=(1-Θ1B-…-ΘqBq)Ξt
其中：p=9,2,9，d=1，q=9,2,12。预测结果见表。
未来甘肃省粮食产量预测表 单位：万吨
年 份 低 值 中 值 高 值
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
598.11
703.12
713.30
773.89
769.78
768.82
813.36
854.18
719.58
766.91
857.17
931.92
904.36
935.52
994.90
971.99
689.30
751.20
794.85
841.07
816.70
844.72
907.11
865.86
849.22
912.47
957.41
1004.89
981.76
1011.04
1074.68
1034.69
696.37
766.61
762.98
846.38
850.69
860.11
911.38
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