不确定性与保险经济分析：一种解说
显然，也存在一个使投保人效用最优的费率p。对于购买保险的个体即投保人来说，最优的费率p就是投保后不改变其初始的期望收益，我们称之为“公平精算保险费率”p[*]。公平费率p[*]满足等式：
π(w-L)+(1-π)w=π(w-p[*]q-L+q)+(1-π)(w-p[*]q)
解这个方程得P[*]=π。进一步地，可以把(6)式写成：
u[1](c[,1])=u[1](c[,2])
也就是说，只有在保险费率与损失概率一致的情况下，投保人在两种状态（损失发生与不发生）下的边际效用一致；投保人在这种情况下则认为是公平的、最优的选择。此时，c[,1]=c[,2]，因而投保人会购买全额的保险即q=L。进而，投保人投保之后的期望效用就可以写成：
U[,1]=πu(w-p[*]q-L+q)+(1-π)u(w-p[*]q)=u(w-p[*]q) (8)
这就是说，如果保险费率与损失发生的概率一致，那么，无论损失发生与否，投保人在投保后将面临一个确定的、最优的状态。
不过，投保人面对p＞π的定价，只要满足(3)式，投保人总会根据(6)式来使自己的保险需求最大化。但是，此时投保人将购买部分保险即q＜L。同时，(4)式也给出了投保人可接受的一个最大的保险费率即U[,0]=U[,1]时的Pmax。
（三）保险有效供给
如果保险人是风险中性的，例如股权充分分散的保险公司，(4)式可以简单地表示为：
w[,1]≤π(w[,1]+pq-q)+(1-π)(w[,1]+pq)
从而得出p≥π。也就是说，风险中性的保险人可以提供的最小保险费率是P[,min]=π。由于π是共同信息，那么，保险人在选择P[,min]=π的定价下，投保人会选择全额的保险即q=L。此时有：
π(w[,1]+pq-q)+(1-π)(w[,1]+pq)=π(w[,1]+πL-1)+(1-π)(w[,1]+πL)=W[,1]
即保险人的期望收益与初始财富相等。进而，对于风险中性的保险人而言，有：
u[,1](w[,1])=πu[,1](w[,1]+πL-L)+(1-π)u[,1](W[,1]+πL)
这就说明，在P[,min]=π的定价下，风险中性的保险人会接受个体的投保。
但是，如果保险人是风险厌恶的，保险人会因为：
πu[,1](W[,1]+πL-L)+(1-π)u[,1](W[,1]+πL)＜u[,1](W[,1]) (9)
而拒绝个体的投保。进一步，我们可以证明风险厌恶的保险人会选择的保险费率条件是p＞π。也就是说，风险厌恶的保险人只有在得到一笔正的风险保费(risk premium)时才会提供保险契约。
另外，保险人是风险偏好的情况也是存在的。例如，一个风险偏好的经理，其控制的保险公司就会表现出与经理人一样的风险态度。因此，在P[,min]=π的定价下，对于风险偏好的保险人而言，有：
u[,1](W[,1])＜πu[,1](W[,1])+πL-L)+(1-π)u[,1](W[,1]+πL)(10)
也就是说，在Pmin=π的定价下，风险偏好的保险人也会接受个体的投保。甚至，风险偏好的保险人，还会选择在低于损失概率的保险费率即p＜π的情况下，提供保险契约。只不过，风险厌恶的投保人大概不会将风险转嫁给一个偏好风险、喜好赌博的保险人，否则会使其自身面临更大的损失。
总而言之，由上述分析可知，保险人将在p≥π的费率情况下提供保险契约，投保人将接受P≤P[,max]的费率水平下的保险契约。也就是说，保险契约成立的条件是保险费率满足条件P∈[πP[,max]]，并且最小的保险费率水平等于损失概率，即P[,min]=π，此时投保人达到最优；而可能的最大保险费率是由(4)式所决定的U[,0]=U[,1]时的P[,max]，此时保险人达到最优。
三、对保险原理与保险本质的再认识
从表面上看，保险是保险人提供的；投保人通过向保险人购买保险，以缴纳一定的保险费为代价将风险转嫁给了保险人。但事实上，保险是通过在投保人之间分散风险以满足人们转嫁风险的需求。保险的本质特征就是通过将风险在投保人之间进行分散，进而实现补偿损失的作用。
我们可以假设，如果个体都是风险厌恶的，而且相互独立，那么，由谁来提供保险呢？根据Arrow-Lind定理，随着所汇集的个体投保人数量的不断扩大(n→∞)，只要在损失概率即公平精算费率p[*]=π的基础上筹集保险费，投保人群体之间就可以解决内部个别投保人的损失补偿问题。也就是说，如果相互独立的风险厌恶的投保人汇集起来，对于风险厌恶的个体投保人而言，是将自身面临的风险转嫁给了整体投保人群体；而对于投保人整体而言，则是将可能的损失在群体之间进行分散。而且，只要投保人群体充分大，投保人作为一个整体，仅仅依赖其整体内的期望损失，而与个体投保人的风险厌恶程度无关，这就是说，由风险厌恶的投保人汇集起来的整体，就变成一个风险中性的“保险供给者”。
显然，这个将个体组织起来、并且管理着保险费的人（组织），就是保险人。因此，保险人实质上就是利用上述保险原理来向个体提供保险产品。而最理想、最优的保险供给者，一定是风险中性的。接下来，我们就可以进一步分析不同性质的保险人是如何供给保险的。
（一）对社会保
险、商业保险和自保的再认识
笔者认为，广义的保险包括社会保险、商业保险和自保等多种形式。可以说，社会保险、商业保险和自保都是利用保险原理在投保人之间进行分散风险，进而实现补偿损失的作用；只是根据供给主体的不同，划分为三种形式而已。
1.社会保险。社会保险是由政府提供的；政府具有足够的强制力将个体组织起来，因而政府可以说是风险中性的保险供给者。不过，我们并不能说政府供给保险是最优的。这是因为，政府通过强制力将个体组织起来的目的是为了解决自身的风险问题。也就是说，政府供给保险的目的是要达到国家效用U[,g](x)的最大化，而不是个体效用的最大化。换句话说，由于政府有足够的强制力，因此它并不在意个体效用是否达到最大；只要能够保证国家效用得到提高，就是可行的选择。所以，在现实中，往往政府提供的社会保险可以是公平的，但并不一定能够达到效率。
2.商业保险。商业保险是由商业保险公司提供的；与社会保险不同的是，商业保险是自愿的。保险公司如果要聚集大量的投保人，只能依靠契约的吸引力。也就是说，商业保险必须在保证个人效用得到提高的前提下，才能实现保险公司效用的提高。为了保证足够的耐心以吸引和鼓动投保人，保险公司必须具备足够的资本金和完善的销售体系。
3.自保。自保是由大型企业或者行业自给的。在某种意义上，自保与社会保险一样，企业自给保险的目的是为了实现自身效用的最大化。而企业范围的限制，也使得自保形式更多地依靠再保险来转移风险。而更进一步地，目前国际上的自保公司已经逐渐演变成商业保险公司。
从以上分析可以看出，政府供给、商业保险公司供给和企业自给的方式，都有各自的优势，都不可能互相取代。因此，社会最优的保险供给还是三者的联合。
（二）对国有保险公司、相互保险公司和股份保险公司的再认识
按照以资本构成和组织形式划分，我们可以将商业保险公司划分为国有独资保险公司、股份制保险
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