不确定性与保险经济分析：一种解说
（一）不确定分析中的几个假定
在经济学中，关于不确定性的表示有多种。这里，为了研究的方便，我们将不确定性环境理解为一个假想的局中人“自然”参与的博弈，并作如下假设：
1.自然会发生不同的状态，其他局中人在自己的战略选择时看不到自然的选择。自然发生的状态集为(1,…,s,…,S)；
2.其他局中人（个体）具有初始禀赋Ws，其可以选择的行动集为(1,…,x,…,X)；
3.显示所有行动和状态组合所构成的结果函数为c(x,s)；
4.局中人对于自然选择的每个状态的可能性预测形成一个共同信息，即一个概率函数π(s)；
5.度量局中人对不同的可能结果的满足程度的一个基本效用函数为u(c)；
6.在基本效用函数u(c)的基础上，我们使用著名的冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数或期望效用函数U(x)表示行动X上的效用函数，即X=(π[,1],π[,2],…,πs;c[,1],c[,2],…cs)，则U(X)=π[,1]u(c1+π[,2]u(c[,2])+…+πsu(cs)；
7.局中人总是要求效用期望效用）的最大化。
（二）风险态度
不同的个体对待不确定性的态度可能是不同的。如果个体偏好一个确定的结果胜于任何期望值与该结果相等的前景，则称个体是风险厌恶的或风险规避的；如果个体偏好恰好相反，则称个体是风险偏好的；如果个体认为二者是无差异的，则称个体是风险中性的。即：u为个体的效用函数，w为个体的初始禀赋（财富），那么，如果个体对于任何满足E[ε]=0，Var[[ε]]＞0的随机变量ε，有：
E[u(W+ε)]＜U(w)，则称个体是严格风险厌恶的；
E[u(W+ε)]＞U(w)，则称个体是风险偏好的；
E[u(W+s)]=U(w)，则称个体是风险中性的。
这里，对于个体的效用函数u(x)，我们可以简单地解释为人们对收入的效用。自然，随着收入的增加，人们的效用会增加，也就是说u'＞0。进一步，我们还可以证明个体为风险厌恶（偏好）的充分必要条件是其效用函数为凹（凸）函数。即：对于个体的效用函数u(x)，如果个体为风险厌恶的，则u″＜0；如果个体为风险偏好的，则u″＞0；如果个体为风险中性的，则其效用函数u(x)是线性的，即u″=0。
事实上，不仅不同的人对风险表现出不同的态度，即使是同一个人，随着其财富及环境的变化等原因，在不同的情况下也会表现出不同的风险态度。例如：如果某人拥有大量的财富，他会对风险所可能带来的损失表现出无所谓的风险中性态度；而随着其财富的缩水，为了避免进一步的损失，他会采取措施规避风险而成为风险厌恶的；当他快要破产时，规避对其来说已无法很快改变近况，他又会凭借剩余的财富以求一搏而表现出风险偏好的态度。不过，一般地，我们均假设人们的风险态度是风险厌恶的，这是因为，风险导致损失的可能是我们所关注和研究的；人们最关心的问题，也在于风险的发生及其所造成的损失对我们的生活和经济发展的影响与后果。
如果个体是风险厌恶的，那么他喜好一个确定的收入，或者愿意处于一个确定的状态。如果个体一开始就处于一个确定的状态，那么，他永远也不会接受博弈，即使博弈是公平的。但是，自然总是令个体处于状态的选择之中；也就是说，个体总是处于不确定性的状态之中。风险厌恶的假设下，个体就可以通过不同状态的交换，由不确定的状态逐渐向确定的状况移动，从而提高自身的效用。而我们所知道的保险就是这样一种契约，可以使个体由不确定的状态变成确定的状态。因此，在风险厌恶的假设下，人们存在自然的保险需求倾向。
二、不确定性与保险供求
上述分析中，假设个体是风险厌恶的，自然使得个体处于不确定的状态，因此个体当然有转嫁风险、消除不确定性的需求；而保险契约可以满足个体转嫁风险、消除不确定性的需求。那么，什么是保险契约呢？一般地，我们总是把保险理解为投保人缴纳保险费，以换取保险人在约定的保险事故发生时履行赔偿或者给付责任的一种契约。在保险合同中，当事人双方是投保人和保险人。一般认为，投保人与保险人的交易过程是一个动态的博弈过程。由于保险合同是附和合同，也就是保险人先“出招”，制定保险合同的条款、费率，然后投保人进行选择。在假定损失概率是共同信息，而且参与人的行动不改变损失概率的前提下（不考虑信息不对称问题），我们将保险的供求描述如下：
（一）保险契约成立的条件
这里，我们可以假设：(1)投保人为风险厌恶的，具有初始财富w，效用函数为u；保险人的效用函数为u[,1]，其初始财富为w[,1]。(2)自然存在两种状态：状态1是损失发生；状态2是损失不发生。(3)投保人的损失为L，损失发生的概率是π，投保人行动不改变损失概率。
如果投保人购买保险以转嫁风险，保险费率为p，保险金额为q；也就是说，投保人预先缴纳pq的保险费，得到一个损失发生时保险人赔偿q的承诺。那么，投保人在没有买保险时的不同状态下的收入为：
状态1：损失发生，投保人的收益是c[,1]=w-L
状态2：损失不发生，投保人的收益是c[,2]=w
投保人在这种条件下的期望效用为：
U[,0]=πu(c[,1])+(1-π)u(c[,2])=πu(w-L)+(1-π)u(w) (1)
maxπu(w-pq-L+q)+(1-π)u(w-pq)最大化的保险需求满足一阶条件：
(1-p)πu[1](w-pq-L+q)-p(1-π)u[1](w-pq)=0 (5)
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在经济学中，关于不确定性的表示有多种。这里，为了研究的方便，我们将不确定性环境理解为一个假想的局中人“自然”参与的博弈，并作如下假设：
1.自然会发生不同的状态，其他局中人在自己的战略选择时看不到自然的选择。自然发生的状态集为(1,…,s,…,S)；
2.其他局中人（个体）具有初始禀赋Ws，其可以选择的行动集为(1,…,x,…,X)；
3.显示所有行动和状态组合所构成的结果函数为c(x,s)；
4.局中人对于自然选择的每个状态的可能性预测形成一个共同信息，即一个概率函数π(s)；
5.度量局中人对不同的可能结果的满足程度的一个基本效用函数为u(c)；
6.在基本效用函数u(c)的基础上，我们使用著名的冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数或期望效用函数U(x)表示行动X上的效用函数，即X=(π[,1],π[,2],…,πs;c[,1],c[,2],…cs)，则U(X)=π[,1]u(c1+π[,2]u(c[,2])+…+πsu(cs)；
7.局中人总是要求效用期望效用）的最大化。
（二）风险态度
不同的个体对待不确定性的态度可能是不同的。如果个体偏好一个确定的结果胜于任何期望值与该结果相等的前景，则称个体是风险厌恶的或风险规避的；如果个体偏好恰好相反，则称个体是风险偏好的；如果个体认为二者是无差异的，则称个体是风险中性的。即：u为个体的效用函数，w为个体的初始禀赋（财富），那么，如果个体对于任何满足E[ε]=0，Var[[ε]]＞0的随机变量ε，有：
E[u(W+ε)]＜U(w)，则称个体是严格风险厌恶的；
E[u(W+ε)]＞U(w)，则称个体是风险偏好的；
E[u(W+s)]=U(w)，则称个体是风险中性的。
这里，对于个体的效用函数u(x)，我们可以简单地解释为人们对收入的效用。自然，随着收入的增加，人们的效用会增加，也就是说u'＞0。进一步，我们还可以证明个体为风险厌恶（偏好）的充分必要条件是其效用函数为凹（凸）函数。即：对于个体的效用函数u(x)，如果个体为风险厌恶的，则u″＜0；如果个体为风险偏好的，则u″＞0；如果个体为风险中性的，则其效用函数u(x)是线性的，即u″=0。
事实上，不仅不同的人对风险表现出不同的态度，即使是同一个人，随着其财富及环境的变化等原因，在不同的情况下也会表现出不同的风险态度。例如：如果某人拥有大量的财富，他会对风险所可能带来的损失表现出无所谓的风险中性态度；而随着其财富的缩水，为了避免进一步的损失，他会采取措施规避风险而成为风险厌恶的；当他快要破产时，规避对其来说已无法很快改变近况，他又会凭借剩余的财富以求一搏而表现出风险偏好的态度。不过，一般地，我们均假设人们的风险态度是风险厌恶的，这是因为，风险导致损失的可能是我们所关注和研究的；人们最关心的问题，也在于风险的发生及其所造成的损失对我们的生活和经济发展的影响与后果。
如果个体是风险厌恶的，那么他喜好一个确定的收入，或者愿意处于一个确定的状态。如果个体一开始就处于一个确定的状态，那么，他永远也不会接受博弈，即使博弈是公平的。但是，自然总是令个体处于状态的选择之中；也就是说，个体总是处于不确定性的状态之中。风险厌恶的假设下，个体就可以通过不同状态的交换，由不确定的状态逐渐向确定的状况移动，从而提高自身的效用。而我们所知道的保险就是这样一种契约，可以使个体由不确定的状态变成确定的状态。因此，在风险厌恶的假设下，人们存在自然的保险需求倾向。
二、不确定性与保险供求
上述分析中，假设个体是风险厌恶的，自然使得个体处于不确定的状态，因此个体当然有转嫁风险、消除不确定性的需求；而保险契约可以满足个体转嫁风险、消除不确定性的需求。那么，什么是保险契约呢？一般地，我们总是把保险理解为投保人缴纳保险费，以换取保险人在约定的保险事故发生时履行赔偿或者给付责任的一种契约。在保险合同中，当事人双方是投保人和保险人。一般认为，投保人与保险人的交易过程是一个动态的博弈过程。由于保险合同是附和合同，也就是保险人先“出招”，制定保险合同的条款、费率，然后投保人进行选择。在假定损失概率是共同信息，而且参与人的行动不改变损失概率的前提下（不考虑信息不对称问题），我们将保险的供求描述如下：
（一）保险契约成立的条件
这里，我们可以假设：(1)投保人为风险厌恶的，具有初始财富w，效用函数为u；保险人的效用函数为u[,1]，其初始财富为w[,1]。(2)自然存在两种状态：状态1是损失发生；状态2是损失不发生。(3)投保人的损失为L，损失发生的概率是π，投保人行动不改变损失概率。
如果投保人购买保险以转嫁风险，保险费率为p，保险金额为q；也就是说，投保人预先缴纳pq的保险费，得到一个损失发生时保险人赔偿q的承诺。那么，投保人在没有买保险时的不同状态下的收入为：
状态1：损失发生，投保人的收益是c[,1]=w-L
状态2：损失不发生，投保人的收益是c[,2]=w
投保人在这种条件下的期望效用为：
U[,0]=πu(c[,1])+(1-π)u(c[,2])=πu(w-L)+(1-π)u(w) (1)
投保之后，投保人在不同状态下的收入为：
状态1：损失发生，投保人的收益是c[,1]=w-pq-L+q
状态2：损失不发生，投保人的收益是c[,2]=w-pq
投保人在这种条件下的期望效用为：
U[,1]=πu(c[,1])+(1-π)u(c[,2])
=πu(w-pq-L+q)+(1-π)u(w-pq) (2)
根据期望效用最大化原理，投保人购买保险的条件是：
U[,0]≤U[,1]，即：
πu(w-L)+(1-π)u(w)≤πu(w-pq-L+q)+(1-π)u(w-pq) (3)
对于保险人而言，他同意承保，即接受pq的保险费，承诺损失发生时赔偿q的条件是：
u[,1](W[,1])≤πu[,1](W[,1]+pq-q)+(1-π)u[,1](W[,1]+pq) (4)
我们不难看出，如果p同时满足(3)式和(4)式，保险契约就可以成立，而且这份保险契约可以增加双方的期望效用。不过，我们也不难看出，(4)式给出了一个保险人提供保险契约的最小费率Pmin，而(3)式则给出了一个投保人可能接受保险契约的最大费率Pmax。
（二）最优保险需求
在给定保险费率p的情况下，投保人总是会选择最大化的保险
需求q，即：
maxπu(w-pq-L+q)+(1-π)u(w-pq)最大化的保险需求满足一阶条件：
(1-p)πu[1](w-pq-L+q)-p(1-π)u[1](w-pq)=0 (5)
以及二阶条件小于0（投保人为风险厌恶的，u″＜0，二阶条件自然满足）。
我们将(5)式写为：
πu[1](c[,1])/(1-π)u[1](c[,2])=p/(1-p) (6)
这说明投保人通过保险契约使得自身所面临的两种状态进行交换，达到了投保人承担风险的最优。进而可以从(5)式中解出个体的保险需求函数：
q=Q(w,L,p,π) (7)
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