国债的久期与凸性阶跃现象研究

　　 北京世纪纵横科技发展有限公司 研究员 陈四勇 
　　一般认为，如果国债到期收益率不变，随着到期时间的临近，久期随之缩短。但是并不尽然。比如96国债⑹，相关信息如下：
　　证券代码：    000696
　　期    限：    10年期
　　债券类别：    附息券
　　付息方式：    每年付息
　　发行日期：    1996年6月14日
　　起息日期：    1996年6月14日
　　到 期 日：    2006年6月14日
　　我们观测在到期收益率不变时，付息前一日和付息日久期与凸性的变化：日期    到期收益率（%）    全价（元）    久期（年）    凸性     2001年6月13日    3.39    150.04    3.74    19.26     2001年6月14日    3.39    138.23    4.21    22.20    
　　表1
　　我们可以看到在到期收益率不变（都为3.39%），2001年6月14日的久期与凸性都较2001年6月13日高。
　　对于附息国债，如果保持收益率不变，在付息日的久期比付息前一日的久期更长，我暂命名其为久期阶跃现象；同样地，付息日凸性也存在凸性阶跃现象。这种阶跃现象还没有学者做过研究，投资者更没有注意到它对我们投资组合的影响。
　　产生久期与凸性阶跃现象的原因
　　为什么会产生这种久期与凸性阶跃现象呢？这还得从附息国债的到期收益率计算公式说起，对于每年付息一次的附息债，到期收益率计算公式如下：
        ①
　　P为当前该国债的价格
　　R为每年支付的利息
　　M债券面值
　　t为当前距下一次付息的时间(以年为单位)
　　T为当前到到期日之间的付息次数
　　r即为到期收益率（复利）
　　实际上该公式是一个分段函数，每一个付息期间函数表达式并不一致。等式的右边（T+1）项多项式，当每付息一次，该多项式将减少一项。
　　久期相当于上式的一阶微分，所以久期的计算公式
    ②
　　也是一个分段函数，每一个付息期间函数表达式并不一致。正因为它们表达式的不同，而导致其久其在付息日前后久期不连续，这就产生了久期的阶跃现象。同样的原因，也产生了凸性阶跃现象。 
　　一个三年期债券在到期收益率不变时久期--日期关系图 ③
　　图 1
　　久期与凸性阶跃现象对投资的影响
　　由于久期与凸性阶跃现象的存在，使得该债券在付息后对于价格的变化更敏感。同样收益率的变化，该债券在付息日比付息前一日使价格变化幅度增大；但是价格变化的没有明显差别。
　　仍以96国债⑹ 为例，说明在相同到期收益率变化时，付息前后价格变化关系
　　日期    到期收益率为3%的价格    到期收益率为2%的价格    价格差     2001年6月13日    152.26    158.15    5.89     2001年6月14日    140.44    146.33    5.89    
　　表2
　　有上表可知，在2001年6月13日，收益率从3%将到2%，价格上升了5.89；在2001年6月14日，收益率同样从3%将到2%，价格也上升了5.89。付息日与付息前一日对于同样收益率的变化，价格变化没有明显的差别。但是付息后对收益率的敏感程度有明显差别。更一般地，如果付息前一日的到期收益率与到期付息日收益率一样，成立
　　P1*D1≈P2*D2    ③ 
　　P1付息前一日价格，D1付息前一日的久期 
　　P2付息日的价格，D2付息日的久期
　　如果付息前一日的到期收益率与到期付息日收益率一样，成立
　　D2/D1≈P1/(P1-R)     ④
　　D2-D1≈R*D1/(P1-R)   ⑤
　　可以发现，票面利率越高，阶跃现象越明显。
　　一般来说，随着到期日期得临近，国债价格的变化幅度将变小，但是因为久期阶跃现象，付息后投资组合久期可能增大，投资组合的相对风险增大。为了达到国债投资的免疫、套期保值、杠铃交易等目的，投资者需要重新调整期组合，这对保证达到走资者的投资目的非常重要。如何运用这种久期与凸性阶跃现象，还有待深入研究。

来源:全景网络

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