分片实验与有限元法

　　摘要：本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用，它是近代有限元发展的一个主要特色。得出分片试验对位移函数和应变函数的要求，这些要求便是一个好的有限元法所应保证的；分析了几何方程弱形式与分片试验的关系，借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要求，以及在满足这些要求的同时产生的对其他条件的影响；分析了精化直接刚度法、广义协调元和双参数法如何保证分片试验的满足；最后作为位移条件的应用例子，改进了BCIZ元。
　　关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法
　　
　　1引言
　　
　　连续问题极大地推动了有限元的发展，目前，成熟的构造单元的方法有传统的位移法有限元[1]、应力杂交元[4]、杂交混合元[5]、拟协调元[2][3]、广义协调元[6]、双参数法[7]、精化直接刚度法[8]等多种。有些方法在数学上已有证明，但这些方法的更为完善的证明仍是一个课题，而且其数学证明还很难被研究力学的人们所理解。人们仍比较普遍以事后的分片试验来验证单元的收敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论，但以往的大量实践说明：通过分片试验的单元使用起来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同点，近期有限元的发展可以说是以分片试验为一个主要内涵的发展。
　　
　　众所周知，分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时，不可避免的涉及了单元间的协调关系，这种协调关系与两个单元有关，文[4][5]采用了单元边界上的公共的位移插值函数，文[9]把这种位移插值函数成为“网线函数”。正式这种所谓的“网线函数”的采用，单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决连续问题的有限元法均有意或无意地使用了这种网线函数。本文通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。
　　
　　目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理，从而得到单元的应变（或应力）的，由结点位移为参数表达的表达式，再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元法在得到应变（或应力）的做法上不同，好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实验所应满足的条件。
　　
　　2分片检验的要求
　　
　　因有限元法最终列出的是势能的方程，因此分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不协调部分对势能无贡献，在薄板弯曲问题中，可如下表达：
　　
　　(1)
　　
　　其中,A：单元域，为位移的不协调部分,有：
　　
　　
　　
　　
　　
　　(2)
　　
　　为位移，为位移的协调部分。
　　
　　方程(1)可以理解为：在常内力情况下，不协调位移对应变能无贡献。把(2)式代入方程(1)
　　
　　(3)
　　
　　对(3)式中的项应用格林公式，并应用坐标变换公式：
　　
　　(4)
　　
　　其中、分别为位移协调部分在单元边界的法向和切向的导数，即为文中的网线函数，、
　　
　　
　　
　　为单元边界外法线的方向余弦。对含的项再分步积分得：
　　
　　（>r时）(5)
　　
　　r表示单元的边数，表示结点的位移参数。对(3)中的含项也进行分步积分并整理有：
　　
　　(6)
　　
　　同样，对项再分步积分得：
　　
　　(7)
　　
　　ai、bi、ci为由各边的nx与ny组

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