基于FPGA的四阶IIR数字滤波器

摘要：采用FPGA实现四阶IIR数字滤波器，通过两个二阶节级联构成数字椭圆低通滤波器。通带内波纹小于0.1dB，阻带衰减大于32dB。
　　关键词：四阶IIR椭圆滤波器补码阵列乘法器
　　
　　常用的数字滤波器有ＦＩＲ数字滤波器和ＩＩＲ数字滤波器。ＦＩＲ数字滤波器具有精确的线性相位特性，在信号处理方面应用极为广泛，而且可以采用事先设计调试好的ＦＩＲ数字滤波器ＩＰＣｏｒｅ来完成设计，例如Ａｌｔｅｒａ公司提供的针对Ａｌｔｅｒａ系列可编程器件的ＭｅｇａＣｏｒｅ，但是需要向Ａｌｔｅｒａ公司购买或申请试用版。另外，对于相同的设计指标，ＦＩＲ滤波器所要求的阶数比ＩＩＲ滤波器高５～１０倍，成本较高，而且信号的延迟也较大。ＩＩＲ滤波器所要求的阶数不仅比ＦＩＲ滤波器低，而且可以利用模拟滤波器的设计成果，设计工作量相对较小，采用ＦＰＧＡ实现的ＩＩＲ滤波器同样具有多种优越性。
　　
　　ＩＩＲ滤波器主要有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器几种。给出了以上三种滤波器实现同样性能指标所需的阶数及阻带衰减的比较，如表１所示。
　　
　　表1三种滤波器的性能比较
　　
　　原型阶数阻带衰减/dB巴特沃斯615切比雪夫I型425椭圆函数327
　　由表１可见，椭圆滤波器给出的设计阶数比前两种低，而且频率特性较好，过渡带较窄，但是椭圆滤波器在通带上的非线性相位响应最明显。本系统选用椭圆函数滤波器进行设计。
　　
　　１原理分析
　　
　　数字滤波器实际上是一个采用有限精度算法实现的线性非时变离散系统，它的设计步骤为：首先根据实际需要确定其性能指标，再求得系统函数Ｈ（ｚ），最后采用有限精度算法实现。
　　
　　根据需要，本系统的设计指标为：模拟信号采样频率为２ＭＨｚ，每周期最少采样２０点，即模拟信号的通带边缘频率为ｆｐ＝１００ｋＨｚ，阻带边缘频率ｆｓ＝１ＭＨｚ，通带波动Ｒｐ不大于０．１ｄＢ（通带误差不大于５％），阻带衰减Ａｓ不小于３２ｄＢ。换算为数字域指标为：Ｗｐ＝０．１π，Ｗｓ＝０．２π，Ｒｐ＝０．１ｄＢ，Ａｓ＝３２ｄＢ。系统函数Ｈ（ｚ）的计算采用Ｍａｔｌａｂ软件比较方便，其中有两个现成的函数可以使用：ｅｌｌｉｐｏｒｄ（ｗｐ／ｐｉ，ｗｓ／ｐｉ，Ｒｐ，Ａｓ）函数用来计算数字椭圆滤波器的阶次Ｎ和３ｄＢ截止频率ｗｎ，而ｅｌｌｉｐ（Ｎ，Ｒｐ，Ａｓ，ｗｎ）函数可以求得直接型椭圆ＩＩＲ滤波器的各个系数。通过调用以上两个函数计算得到的系统函数Ｈ（ｚ）为：
　　
　　
　　
　　这是一个四阶ＩＩＲ系统，Ｍａｔｌａｂ计算出该系统的频率响应如图１所示，可见满足设计要求。
　　
　　如果采用直接型结构实现，需用的乘法器和延迟单元相对较多，而且分子和分母的系数相差较大，需要较多的二进制位数才能实现相应的精度要求。
　　
　　如果采用二阶节级联实现，一来各基本节的零点、极点可以很方便地单独进行调整，二来可以降低对二进制数位数的要求。给出了一个直接型结构转为级联型结构的ｄｉｒ２ｃａｓ．ｍ文件，利用该函数求得系统函数的级联表达形式为：
　　
　　Ｈ（ｚ）＝Ｈ１（ｚ）×Ｈ２（ｚ）＝（0.11-0.1041z-1+0.11z-2）/(1-1.58z-1+0.6469z-2)×(0.2464-0.426z-1+0.2464z-2)/(1-1.7753z-1+0.892z-2)
　　
　　由上式可以看出，每个二阶节的分子、分母系数差异减少了。值得注意的是，在分配二阶节的增益时，要保证每个节不会发生运算溢出，可以先用Ｍａｔｌａｂ软件分析计算来合理安排各节的增益。经过计算，本文采用第一级分配０.１１，第二级分配０.２４６４,可以保证在要求的输入范围，没有数据溢出发生。
　　
　　２系统实现
　　
　　将第一个二阶节的系统函数表示为差分方程:
　　
　　ｙ１(ｎ)＝ａ０ｘ(ｎ)－ａ１ｘ(ｎ－１)＋ａ２ｘ(ｎ)＋ｂ０ｙ(ｎ－１)－ｂ１ｙ(ｎ－２)
　　
　　＝０．１１ｘ(ｎ)－０.１０４１ｘ(ｎ－１)＋０．１１ｘ(ｎ)＋１.５８ｙ(ｎ－１)－０.６４６９ｙ(ｎ－２)
　　
　　可以看出，一个二阶节的实现需要五次乘法运算、四次加法运算（采用二进制补码将减法运算变为加法运算）。两个二阶节共需要十次乘法运算。虽然现在已有上千万门的ＦＰＧＡ产品可供选用，但是一般应用时全部采用硬件阵列乘法器毕竟不太合适，而如果采用串行乘法器进行分时复用，其工作速度也不太理想。
　　
　　本文采用一个折中的方法实现，即乘加单元（ＭＡＣ）的乘法器采用阵列乘法器，而不使用串行乘法器，以提高运

《基于FPGA的四阶IIR数字滤波器》