波浪增减水的实用数学模型及其数值模拟
1 引言
波浪从深水向浅水传播过程中，由于浅化变形，会在海岸附近发生波浪破碎．波浪破碎过程中将伴随大量的能量损失，导致波高等波要素发生很大变化，从而在近岸区域出现明显的增成水现象．自20世纪60年代以来，许多学者采用物理模型实验和数学模型对波浪增减水现象进行了研究，取得了许多重要研究成果，但由于该现象的复杂性，目前对波浪增减水的模拟大多是先采用考虑能量损失的波能平衡方程得到波高分布，接着采用Longuet-Higgins和stewart原始辐射应力公式或其简化公式计算辐射应力分量，最后采用深度平均的方程计算平均水位的变化（增减水）．对简单地形，这种方法是十分有效的，但对复杂地形这种方法存在明显不足，主要表现在：（1）考虑能量损失的波能平衡方程在用于二线问题时，需要采用其他方程计算波向，而复杂地形上的波向的求解十分困难，特别在焦散区附近更是如此；（2）直接采用Longuet-Higgins和Stewat原始公式计算辐射应力分量比较复杂，需要采用其他方程得到波浪水质点的速度、压力及波面分布，其简化公式只适用于简单的纯行进波，而且仍需采用其他方程计算出各点的波向，从而使这种比较常用的波浪增减水模型算法在复杂地形上的应用受到限制．为此，本文给出一种比较实用的波浪增减水数学模型．该模型首先采用考虑能量损失的抛物型缓坡方程得到域内的波浪复振幅分布，避免了波向的确定，接着采用笔者导出的一种新的辐射应力公式计算出辐射应力分量，最后采用深度平均的方程计算波浪破碎产生的增减水．从理论上说，本文方法可有效地用于复杂地形上的增减水问题，但由于缺少复杂地形上的增减水实测数据，因此模型的验证是在简单地形上进行的．采用该模型对规则波和不规则波破碎引起的增减水问题进行了数值模拟，并将数值结果和实测数据进行了比较，效果比较满意．
2数学模型
2．1波浪复振幅数学模型。
考虑波能损失的抛物型缓坡方程为
式中，A为波浪复振幅；X为波浪主传播方向；k为波数；为纵轴方向（y方向）上k的平均值；C为波相速;Cg为波群速;μ为非线性因子，可由Kirby和Dalrymple提出的非线性频散模型确定;F＝（Df＋Db）/E，为能量损失因子，E＝pg|A|2/2，为波能，Df和Db分别为底摩擦和波浪破碎引起的能量损失，可采用下面的公式进行计算：
其中p为密度；ƒw为底摩擦系数，可由经验公式确定；w为波浪圆频率;H为波高;h为静水深;g为重力加速度；a1为校正系数(≈)；ƒp为不规则波谱峰频率;Qb和Hb分别为不规则波当地破波分数和最大破波波高，它们分别由下面的表达式确定：
其中kp为谱峰频率对应的当地波数;r为破波参数，可由经验公式r=0.5＋0.4tanh(33So）或实际增况确定，So为初始人射波陡．
2．2辐射应力计算公式
由推导抛物型缓坡方程（1）所做的简化假定，并将辐射应力分量与式（1）中的待求变量联系起来，可以导出下面的辐射应力分量计算公式：
式中，Sxx，Syy，Sxy和Syx为辐射应力分量;A*为A的共扼复数；其他变量含义同前．当应用武（1）计算出计算域中各点的复振幅A后，采用式（2）可十分容易地计算出各点的辐射应力分量．
2．3波浪增减水数学模型
对波浪增减水采用深度平均的连续方程和动量方程进行计算，具体表达式如下：
式（1）一（3）构成了复杂地形上的波浪增减水数学模型。但对本文算例，可采用式（4）代替式（3）进行简化计算．
3数值方法
式（1）采用Crank－Nicolson格式离散，并结合适当的边界条件采用追赶法进行求解，就得到计算域中复振幅A（x,y）的分布；将A（x,y）代入式（2），可十分容易地计算出域中各点的辐射应力分量，然后将辐射应力分量代人式（4）即可可求出η值．在本文计算中，式（2）和（4）中的一阶导数均采用中心差分格式离散．
4数学模型的验证及结果分析
4．1规则波破碎引起的波浪增减水
采用邹志利进行的规则波破碎的物理模型实验结果来验证本文给出的波浪增减水数学模型．其实验地形如图1所示．有关实验和计算采用的参数如表1所示，其中ho为造波位置的静水深，Ho为人射波高，T为周期，r为破波参数．图2给出了四种工况的波浪增减水的实验值和计算结果的比较，可以看出两者比较一致，初步说明本文给出的沾染增减水数学模型比较成功的。
4．2不规则波破碎引起的波浪增减水
这里对一种典型地形上不规则波破碎引起的波浪增减水进行数值模拟，在该地形上
《波浪增减水的实用数学模型及其数值模拟》
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波浪从深水向浅水传播过程中，由于浅化变形，会在海岸附近发生波浪破碎．波浪破碎过程中将伴随大量的能量损失，导致波高等波要素发生很大变化，从而在近岸区域出现明显的增成水现象．自20世纪60年代以来，许多学者采用物理模型实验和数学模型对波浪增减水现象进行了研究，取得了许多重要研究成果，但由于该现象的复杂性，目前对波浪增减水的模拟大多是先采用考虑能量损失的波能平衡方程得到波高分布，接着采用Longuet-Higgins和stewart原始辐射应力公式或其简化公式计算辐射应力分量，最后采用深度平均的方程计算平均水位的变化（增减水）．对简单地形，这种方法是十分有效的，但对复杂地形这种方法存在明显不足，主要表现在：（1）考虑能量损失的波能平衡方程在用于二线问题时，需要采用其他方程计算波向，而复杂地形上的波向的求解十分困难，特别在焦散区附近更是如此；（2）直接采用Longuet-Higgins和Stewat原始公式计算辐射应力分量比较复杂，需要采用其他方程得到波浪水质点的速度、压力及波面分布，其简化公式只适用于简单的纯行进波，而且仍需采用其他方程计算出各点的波向，从而使这种比较常用的波浪增减水模型算法在复杂地形上的应用受到限制．为此，本文给出一种比较实用的波浪增减水数学模型．该模型首先采用考虑能量损失的抛物型缓坡方程得到域内的波浪复振幅分布，避免了波向的确定，接着采用笔者导出的一种新的辐射应力公式计算出辐射应力分量，最后采用深度平均的方程计算波浪破碎产生的增减水．从理论上说，本文方法可有效地用于复杂地形上的增减水问题，但由于缺少复杂地形上的增减水实测数据，因此模型的验证是在简单地形上进行的．采用该模型对规则波和不规则波破碎引起的增减水问题进行了数值模拟，并将数值结果和实测数据进行了比较，效果比较满意．
2数学模型
2．1波浪复振幅数学模型。
考虑波能损失的抛物型缓坡方程为
式中，A为波浪复振幅；X为波浪主传播方向；k为波数；为纵轴方向（y方向）上k的平均值；C为波相速;Cg为波群速;μ为非线性因子，可由Kirby和Dalrymple提出的非线性频散模型确定;F＝（Df＋Db）/E，为能量损失因子，E＝pg|A|2/2，为波能，Df和Db分别为底摩擦和波浪破碎引起的能量损失，可采用下面的公式进行计算：
其中p为密度；ƒw为底摩擦系数，可由经验公式确定；w为波浪圆频率;H为波高;h为静水深;g为重力加速度；a1为校正系数(≈)；ƒp为不规则波谱峰频率;Qb和Hb分别为不规则波当地破波分数和最大破波波高，它们分别由下面的表达式确定：
其中kp为谱峰频率对应的当地波数;r为破波参数，可由经验公式r=0.5＋0.4tanh(33So）或实际增况确定，So为初始人射波陡．
2．2辐射应力计算公式
由推导抛物型缓坡方程（1）所做的简化假定，并将辐射应力分量与式（1）中的待求变量联系起来，可以导出下面的辐射应力分量计算公式：
式中，Sxx，Syy，Sxy和Syx为辐射应力分量;A*为A的共扼复数；其他变量含义同前．当应用武（1）计算出计算域中各点的复振幅A后，采用式（2）可十分容易地计算出各点的辐射应力分量．
2．3波浪增减水数学模型
对波浪增减水采用深度平均的连续方程和动量方程进行计算，具体表达式如下：
式（1）一（3）构成了复杂地形上的波浪增减水数学模型。但对本文算例，可采用式（4）代替式（3）进行简化计算．
3数值方法
式（1）采用Crank－Nicolson格式离散，并结合适当的边界条件采用追赶法进行求解，就得到计算域中复振幅A（x,y）的分布；将A（x,y）代入式（2），可十分容易地计算出域中各点的辐射应力分量，然后将辐射应力分量代人式（4）即可可求出η值．在本文计算中，式（2）和（4）中的一阶导数均采用中心差分格式离散．
4数学模型的验证及结果分析
4．1规则波破碎引起的波浪增减水
采用邹志利进行的规则波破碎的物理模型实验结果来验证本文给出的波浪增减水数学模型．其实验地形如图1所示．有关实验和计算采用的参数如表1所示，其中ho为造波位置的静水深，Ho为人射波高，T为周期，r为破波参数．图2给出了四种工况的波浪增减水的实验值和计算结果的比较，可以看出两者比较一致，初步说明本文给出的沾染增减水数学模型比较成功的。
4．2不规则波破碎引起的波浪增减水
这里对一种典型地形上不规则波破碎引起的波浪增减水进行数值模拟，在该地形上
《波浪增减水的实用数学模型及其数值模拟》
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