基于FPGA的快速并行FFT及其在空间太阳望远镜图像锁定系统中的应用

　　摘要：在空间太阳望远镜的在轨高速数据处理中，运算时间是影响系统性能的重要环节之一。利用FPGA丰富的逻辑单元实现快速傅里叶变换（FFT），解决了在轨实时大数据量图像处理与航天级DSP运算速度不足之间的矛盾；利用溢出监测移位结构解决了定点运算的动态范围问题。经过实验验证，各项指标均达到了设计要求。
　　关键词：FFTFPGA蝶形运算
　　
　　空间太阳望远镜项目是我国太阳物理学家为了实现对太阳的高分辨率观测而提出的科学计划。它可以得到空间分辨率为0.1"的向量磁图和0.5"的X射线图像，实现这样高的观测精度的前提就是采用高精度的姿态控制系统和高精度的相关跟踪系统。从整个系统来看，相关运算所需的时间成为限制系统性能能否提高的一个重要环节。
　　
　　目前，国际国内相关计算比较通用的实现方法有两种：用高速DSP或者专用（FFT）处理芯片。用DSP完成相关计算（关键是FFT）受到航天级DSP性能的限制，现有的航天级DSP（如ADSP21020）计算一个32×32点8bit的二维FFT所用时间需要1.5ms以上，远远不能满足系统设计要求；而现有的FFT处理芯片在处理速度、系统兼容性、抗辐射能力等方面不能满足空间太阳望远镜所提出的要求。
　　
　　为克服这一矛盾，本文利用FPGA资源丰富、易于实现并行流水的特点设计专用的FFT处理芯片来完成复杂的、大量的数据处理；并通过在运算中作溢出监测来保证定点运算的精度，从而大大缩短系统的响应时间，将极大地提高空间太阳望远镜的在轨实时图像处理能力；同时由于FPGA具有抗辐射能力，可以提高系统的可靠性，其在航天遥测遥感和星载高速数据处理等方面将有广泛的应用前景。
　　
　　1算法构成
　　
　　1.1FFT算法选择
　　
　　提高FFT速度的两个主要途径是采用流水结构和并行运算[1]。采用高基数结构也可以提高速度，只是用FPGA实现时必须综合考虑系统要求、结构特点及片内资源。针对本系统自身特点，这里按时间抽选算法进行分析。由于32不满足N=4m，所以32点FFT算法不能采用基-4FFT运算。当详细分析基-2蝶形图时，有些蝶形运算并不需要做乘法，例如等[2]；对于32点DIT-FFT，一共80个蝶形运算，这种结构就有46个，极大地降低了运算复杂度。在一维FFT计算效率提高的基础上对二维FFT采用最常用的行列算法[3]，综合各项指标本系统采用基-2DIT行列算法。
　　
　　1.2算术运算方案
　　
　　本系统是针对32×32点16bit的二维图像进行快速傅里叶变换（FFT），设计要求运算在0.5ms之内完成，所以采用定点运算更符合系统对时间的要求。对于定点运算，必须用定比例的方法防止溢出，即必须解决动态范围问题。下面对其进行理论分析：
　　
　　若{x(n)}是-N点序列，其DFT为{X(K)}，由Parseval定理得[4]：
　　
　　
　　
　　由式（1）可知变换结果的均方值是输入序列均方值的N倍。考虑基-2算法的第m级蝶形运算，用Xm(i)、Xm(j)表示原来的复数，则新的一对复数Xm+1(i)、Xm+1(j)为：
　　
　　Xm+1(i)=Xm(i)+Xm(j)×W(2)
　　
　　Xm+1(j)=Xm(i)-Xm(j)×W
　　
　　其中，W为旋转因子。首先，考虑复数的均方程根值。由（2）式可得：
　　
　　
　　

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