实际问题与一元一次方程探索

    探索实际问题与一元一次方程     河北省迁安市扣庄中学 兰义元      
    一、教材分析
    (一)教材的地位和作用
    本节内容是一元一次方程应用的延伸与拓展,它进一步让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,同时又渗透了函数与不等式的思想,为以后内容学习奠定了必要的数学基础,本节内容具有承上启下的作用.学生能深刻地认识到方程是刻画现实世界有效的数学模型,领悟到“方程”的数学思想方法.总之,本节内容无论在知识上还是在数学思想方法上,都是十分很好的素材,能很好培养学生的探索精神、应用意识以及创新能力.
    (二)教材的重难点
    本节的重点是探索并掌握列一元一次方程解决实际问题的方法.而方程的建模思想学生还是初步接触,寻找相等关系对学生来说仍相当困难,所以确定“找出已知量与未知量之间的关系,尤其是相等关系”为本节的难点之一,列方程解应用题的最终目标是运用方程的解对客观现实作出合理的解释,这是本节的难点之二.
    二、教学目标分析
    (一)知识技能目标
    1.目标内容
    (1) 结合生活实际,会在独立思考后与他人合作,结合估算和试探,列出一元一次方程解决本节的三个实际问题,并能解释结果的实际意义及其合理性.
    (2) 培养学生建立方程模型来分析、解决实际问题的能力以及探索精神、合作意识.
    2.目标分析
    (1) 本节的内容就是通过列方程、解方程来解决实际问题,这是必须掌握的知识,估算与试探的思维方法也很重要,这是发现和解决问题的有效途径.
    (2) 七年级的学生对数学建模还比较陌生,建模能突出应用数学的意识,而探索精神和合作意识又是课标所大力倡导的,因而必须加强培养学生这方面的能力.
    (二)过程目标
    1.目标内容
    在活动中感受方程思想在数学中的作用,进一步增强应用意识.
    2.目标分析
    利用方程解决问题是有用的数学方法,学生在前两节的数学活动中,有了一些初步的经验,但是更接近生活,更富有挑战性的问题则需要师生合作,探索解决.
    (三)情感目标
    1.目标内容
    (1) 在探索中获得成功的体验,激发学生学习数学的热情,享受与他人合作的乐趣,建立自信心.
    (2) 通过对实际问题的解决,进一步体会“数学来源于生活,且服务于生活”的辩证思想.
    2.目标分析
    七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强、思想活跃、求知心切.利用教材培养学生良好的学习习惯、方法和品质,这是落实新课标倡导的教育理念的关键.
    三、教材处理与教法分析
    本节内容拟定两课时完成,今天说课的内容是第一课时(探究Ⅰ、探究Ⅱ).根据本节课的特点及七年级学生的心理特征和认知特征,本节课采用探索发现法进行教学,在活动中充分体现学生是学习的主人,教师是学习的组织者、引导者、合作者.本课借助多媒体辅助教学,给学生以直观形象的演示,增强感性认识,增强教学效果.课中以设疑提问、分组活动等方式,激发学生的兴趣,引导学生自主探索与合作交流,主动获得知识.
    四、教学过程分析
    (一)教学过程流程图
    探究Ⅰ
    (二)教学过程Ⅰ
    (以探究为主线、形式多样化)
    1.问题情境
    (1) 多媒体展示有关盈亏的新闻报道,感受生活实际.
    (2) 据此生活实例,展示探究Ⅰ,引入新课.
    考虑到学生不完全明白“盈利”、“亏损”这样的商业术语,故针对性地播放相关新闻报道,然后引出要探索的问题Ⅰ.
    2.讨论交流
    (1) 学生结合自己的生活实际,交流对“盈利”、“亏损”含义的理解.
    (2) 学生交流后,老师提出问题:某件商品的进价是40元,卖出后盈利25%,那么利润是多少?如果卖出后亏损25%,利润又是多少?(利润是负数,是什么意思?)
    (3) 要求学生对探究Ⅰ中商店的盈亏进行估算,交流讨论并说明理由.在讨论中学生对商店盈亏可能出现不同的观点,因此引导学生用数学方法解决问题,统一认识.
    (4) 师生互动,要知道究竟是盈是亏,必须先知道什么?从而引出要算出每件衣服的进价.
    让学生讨论盈利和亏损的含义,理解其概念,建立感性认识;乍一看,大多数学生可能在大体估算后得到不亏不盈,直觉上也是如此,但要解决实际问题,还要知其原价(未知量),从这一分析引入未知量,为后面建立模型,做了必要的铺垫.
    3.建立模型
    (1) 学生自主探索,寻找已知量与未知量之间的关系,确定相等关系.
    (2) 学生分组,根据找出的相等关系列出方程,其中一组计算盈利25%的衣服的进价,另一组计算亏损25%的衣服的进价.
    (3) 师生互动:①两件衣服的进价和为________;②两件衣服的售价和为________;③由于进价________售价,由此可知两件衣服的盈亏情况.
    (教师及时给出完整的解答过程)
    学生分组、计算盈亏;教师参与、适当提示;师生互动、得到决策.这样设计,让学生体会到合作交流、互相评价、互相尊重的学习方式,有利于学生知识的形成与发展,也有利于学生健康人格的养成.这样设计易于突出重点,突破难点,巩固应用一元一次方程作工具来解决实际问题的方法,也很好地让学生从已有的经验中、活动中,有意义地构建自己的知识结构,获得

富有成效的学习体验.
    4.小结
    一个感悟:估算与主观判断往往与实际情况大相径庭,需要我们通过准确的计算来检验自己的判断.
    培养学生科学的学习态度与严谨的学习作风.
    探究Ⅱ
    (三)教学过程Ⅱ
    1.在灯具店选购灯具时,由于两种灯具价格、能耗的不同,引起矛盾冲突.
    恰当的问题情境激发学生探索的欲望,同时让学生体会到数学来源于生活,又服务于生活的实用性.
    启发:选择的目的是节省费用,费用又是由哪些因素决定的?学生讨论得出结论:
    2.列代数式
    费用=灯的售价+电费
    电费=0.5×灯的功率(千瓦)×照明时间(时)
    在此基础上,用t表示照明时间(小时).要求学生列出代数式表示这两种灯的费用.
    节能灯的费用(元):60+0.5×0.011t.
    白炽灯的费用(元):3+0.5×0.06t.
    分析各个量之间的关系,列出代数式,为后面列方程,并进一步探索提供了基础.
    3.特值试探  具体感知
    学生分组计算:
    t=1000、2000、2500、3000时,这两种灯具的使用费用,填入下表:
    时间(小时)
    1000
    2000
    2500
    3000
    节能灯的费用(元)
    白炽灯的费用(元)
    学生填完表格后,展示由表格数据制成的条形统计图.
    引导学生讨论:从统计图表,你发现了什么?
    问题的答案是多样的,师生共同得出:照明时间不同,作出的选择不同.
    由于在前面的第二节,学生已经学过“两种移动电话计费方式”的一道例题,因此学生应该能较熟练地完成表格中的特值试探.又因为七年级学生的认知以直观形象为主,再给出统计图,完成特殊到一般,感性到理性的深化.
    4.方程建模
    观察统计图,你能看出使用时间为多少(小时)时,这两种灯的费用相等吗?
    列出方程:
    60+0.5×0.011t=3+0.5×0.06t
    5.合作交流  解释拓展
    (1) 照明时间小于2327小时,用哪种灯省钱?照明时间超过2327小时.但不超过3000小时,用哪种灯省钱?
    学生分组讨论,交流各自的看法.
    (2) 如果计划照明3500小时,则需购买两个灯,设计你认为合理的选灯方案.
    学生分组、讨论购灯方案只有三种:①两盏节能灯;②两盏白炽灯;③一盏节能灯、一盏白炽灯.
    学生计算各种方案所需费用.
    关于选灯方案③,学生可能会有不同的结果,先让学生充分展示他们的计算理由,然后对学生得出“使用节能灯3000小时,白炽灯500小时”的结论,给予充分肯定,并引导学生寻找理论依据,列式验证:
    设节能灯的照明时间为t(小时),那么总费用为:
    60+3+0.5×0.011t+0.5×0.06(3500-t)=168-0.0245t(0≤t≤3000)
    观察上式可看出,只有当t=3000时,总费用最低.
    培养学生合作交流,倾听他人意见,并从交流中获益的学习习惯,综合各方面信息的能力.讨论2需要考虑的情形不只一种,通过这一问题,培养分类讨论的思想,养成缜密的思维品质.此处渗透着函数、不等式和分类讨论的思想,为后面学习实际问题提供了实践经验.
    6.反馈练习
    一家游泳馆每年6~8月出售夏季会员证,每张会员证80元,只限本人使用,凭证购入场券每张1元,不凭证购入场券每张3元,讨论并回答:
    (1) 什么情况下,购会员证与不购证付相同的钱?
    (2) 什么情况下,购会员证比不购证更合算?
    (3) 什么情况下,不购会员证比购证更合算?
    适时的反馈练习,以加深学生对这一知识的理解,逐步完善自己的知识结构.
    (四)教学小结
    学生分组小结“本课学到了什么”,各组发言交流体验、教师总结:
    五、设计说明
    七年级学生的年龄特征决定了他们好奇心强,思想活跃、求知心切.因此我从“以人为本”的理念出发,依据数学的工具性和人文性等特点,在整个教学活动中始终关注学生的发展,培养学生的创新精神与创新能力.
    (一)充分尊重学生的主体地位
    发挥学生的主体作用,坚持让学生自主探索、合作交流,展示学生的思维过程.
    (二)树立方程建模思想
    突出解释与应用,渗透函数、不等式、分类讨论等数学思想和方法,培养学生应用数学的意识.
    (三)注重对学习过程与方法的评价
    关注学生参与数学活动的热情,与他人合作的态度,以及独立地分析问题、解决问题的能力,力争让不同的人在数学上得到不同的发展.
    (1) 某种商品因换季打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元;而按定价的九折出售将赚20元.问这种商品的定价为

多少元?
    (2) 某商店为了促销A牌高级洗衣机,规定在元旦那天购买该机可以分两期付款,在购买时先付一笔款,余下部分及它的利息(年利率为5.6%)在明年的元旦付清,该洗衣机售价是每台8 224元,若两次付款相同,问每次应付款多少元?
    (3) 工厂甲、乙两车间去年计划共完成税利720万元,结果甲车间完成了计划的115%,乙车间完成了计划的110%,两车间共完成税利812万元,求去年两个车间各超额完成税利多少万元?
    (4) 一辆汽车用40千米/时的速度由甲地驶向乙地,车行3小时后,因遇雨平均速度被迫每小时减少10千米,结果到达乙地时比预计的时间晚了45分钟,求甲、乙两地间的距离.
    (5) 甲、乙两人合办一小型服装厂,并协议按照投资额的比例多少分配所得利润,已知甲与乙投资比例为3∶4,第一年共获利30 800元,问甲、乙两人可获利润多少元?
    (6) 有人问老师班级有多少名学生时,老师说:“一半学生在学数学,四分之一学生在学音乐,七分之一的学生在读外语,还剩六名学生在操场踢球.”你知道这个班有多少名学生吗?
    (7) 某人10时10分离家去赶11时整的火车,已知他家离车站10千米,他离家后先以3千米/时的速度走了5分钟,然后乘公共汽车去车站,问公共汽车每小时至少走多少千米才能不误火车?
    综合运用
    4.某市居民生活用电基本价格是每度0.40元,若每月用电量超过a度,超出部分按基本电价的70%收费.
    (1) 某户五月份用电84度,共交电费30.72元,求a;
    (2) 若该户六月份的电费平均为每度0.36元,求六月份共用电多少度?应交电费多少元?
    5.为了鼓励节约用水,市政府对自来水的收费标准作如下规定:每月每户不超过10吨部分,按0.45元/吨收费;超过10吨而不超过20吨部分,按0.80元/吨收费;超过20吨部分,按1.5元/吨收费.现已知李老师家六月份缴水费14元,问李老师家六月份用水多少吨?
    6.一支自行车队进行训练,训练时所有队员都以35千米/时的速度前进.突然,有一名队员以45千米/时的速度独自行进,行进10千米后调转车头,仍以45千米/时的速度往回骑,直到与其他队员会合.你知道这名队员从离队到与队员重新会合,经过了多长时间吗?
    7.有8名同学分别乘两辆轿车赶往火车站,其中一辆轿车在距离火车站15千米时出现故障,此时离火车停止检票时间还有42分,这时惟一可以利用的交通工具只有一辆轿车,连司机在内限乘5人,这辆小轿车的平均速度为60千米/时.这8名同学都能赶上火车吗?
    拓广探索
    8.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游.甲旅行社说:“如父亲买全票一张,其余人可享受半价优惠.”乙旅行社说:“家庭旅行算集体票,按原价的优惠.”这两家旅行社的原价相同.你知道哪家旅行社更优惠吗?
《实际问题与一元一次方程探索》