平行线等分线段定理

教学建议

　　1．平行线等分线段定理

　　定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．

　　注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．

　　定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．

　　2．平行线等分线段定理的推论

　　推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

　　推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

　　记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．

　　推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．

　　重难点分析

　　本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.

　　本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.

　　教法建议

　　平行线等分线段定理的引入

　　生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：

　　①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；

　　②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.

 

教学设计示例

　　一、教学目标

　　1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.

　　2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．

　　3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．

　　4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美

　　二、教法设计

　　学生观察发现、讨论研究，教师引导分析

　　三、重点、难点

　　1．教学重点：平行线等分线段定理

　　2．教学难点：平行线等分线段定理

　　四、课时安排

　　l课时

　　五、教具学具

　　计算机、投影仪、胶片、常用画图工具

　　六、师生互动活动设计

　　教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习

　　七、教学步骤

　　【复习提问】

　　1．什么叫平行线？平行线有什么性质．

　　2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？

　　【引入新课】

　　由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线 ，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线 ，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？

　　（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）

　　平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．

　　注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．

　　下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．

　　已知：如图，直线 ， ．

　　求证： ．

　　分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得 ），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．

　　（引导学生找出另一种证法）

　　分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 ．

　　证明：过 点作 分别交 、 于点 、 ，得 和 ，如图．

　　∴

　　∵ ，

　　∴

　　又∵ ， ，

　　∴

　　∴

　　为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．

   

　　引导学生观察下图，在梯形 中， ， ，则可得到 ，由此得出推论 1．

　　推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．

　　再引导学生观察下图，在 中， ， ，则可得到 ，由此得出推论2．

　　推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．

　　注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．

　　接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．

　　例  已知：如图，线段 ．

　　求作：线段 的五等分点．

　　作法：①作射线 ．

　　②在射线 上以任意长顺次截取 ．

　　③连结 ．

　　④过点 ． 、 、 分别作 的平行线 、 、 、 ，分别交 于点 、 、 、 ．

　　  、 、 、 就是所求的五等分点．

　　（说明略，由学生口述即可）

　　【总结、扩展】

　　小结：

　　（l）平行线等分线段定理及推论．

　　（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．

　　（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．

　　（4）应用定理任意等分一条线段．

　　八、布置作业

　　教材P188中A组2、9

　　九、板书设计

　　十、随堂练习

　　教材P182中1、2

《平行线等分线段定理》