数学教案－一元一次不等式组和它的解法

教学建议

　　一、知识结构

　　本书首先结合实例引入一元一次不等式组的解集的概念，然后通过三个例题说明利用数轴解一元一次不等式组的方法，最后对一元一次不等式组的解法步骤进行了总结．

　　二、重点、难点分析

　　本节教学的重点是掌握一元一次不等式组的解法步骤并准确地求出解集．难点是正确应用不等式的基本性质对不等式进行变形、求不等式组中各个不等式解集的公共部分．不等式在中学代数中是研究问题的重要工具，例如求函数的定义域、值域、研究函数的单调性，求最大值、最小值，一元二次方程根的讨论等，都要用到不等式的知识．不等式也是进一步学习其他数学内容的基础．学习和掌握不等式的求解和不等式的证明方法，对培养学生逻辑思维能力也有极其重要的作用．在处理解不等式的问题中，一元一次不等式组的解法，具有特别重要的意义．这是因为，解各类不等式的问题都可以归结为解一些由简单不等式所组成的不等式组．

　　1.在构成不等式组的几个不等式中

　　①这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数；②这里的“几个”并未确定不等式的个数，只要不是一个，两个，三个，四个……都行．

　　2.当几个不等式的解集没有公共部分时，我们就说这个不等式组无解．

　　3.由两个一元一次不等式组成的不等式的解集，共归结为下面四种基本情况：

  
 
 

　　【注意】①其中第（4）个不等式组，实质上是矛盾不等式组，任何数  都不能使两个不等式同时成立．所以说这个不等式组无解或说其解集为空集．②从上面列出的表中，我们可以概括出来不等式组公共解的一规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找．

　　三、教法建议

　　1．解本节的引例及例1、例2、例3时，注意把解不等式组的思路讲清楚，即先分别解每一个不等式，求出解集，再求这些解集的公共部分．求公共部分的过程一定要结合数轴来讲．

　　2．这节课的讲解自始至终要突出解不等式组的基本思想以及解一元一次不等式组的步骤这两个重点．准确熟练地解一元一次不等式以及用数轴上的点表示不等式的解集是这节课的基础，因此讲新课之前要复习提问这些内容．

　　3．求公共解集是这节课的新授内容，教师要充分利用数轴表示不等式解集具有形象、直观、易于说明问题这些优点．解集的公共部分教师可用彩笔在数轴的相应部分描画出来，使学生感到醒目，便于理解记忆．

　　4．每组不等式不要超过三个，关键是使学生理解和掌握解不等式组的基本思想和两个步骤，不宜做过于难、过于多、重复的机械计算．

 

一元一次不等式组和它的解法（一）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．理解一元一次不等式组解集的概念，会利用数轴较简单的一元一次不等式组．

　　2．掌握一元一次不等式组解集的几种情况．

　　（二）能力训练点

　　通过利用数轴解不等式组，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力．

　　（三）德育渗透点

　　通过不等式组解集的求法，培养学生的观察与分析能力，渗透辩证唯物主义的观点．

　　（四）美育渗透点

　　用数轴求不等式组的解集，渗透用数学图形解题的直观性、简捷性的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：引导发现法、观察法、归纳总结法．

　　2．学生学法：学会利用数轴将两个不等式的解集表示出来，并观察出其公共部分，再小结出不等式组的解集．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　理解一元一次不等式组解集的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．

　　（二）难点

　　正确理解一元一次不等式组解集的含义．

　　（三）疑点

　　弄清一元一次不等式解集和不等式组的解集的关系，以及对四种不等式组解集的一般形式的理解．

　　（四）解决办法

　　加强对不等式组解集含义的理解，并熟练掌握用数轴表示不等式解集，利用观察法、归纳法即可掌握求不等式组解集的办法．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　直尺、铅笔、投影仪或电脑、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．教师设计提问有关一元一次不等式的定义及其解集的概念，并复习用数轴表示一元一次不等式的解集的方法．

　　2．教示范一元一次不等式组解集的四种常规图形的表示方法，并引导学生理解记忆它们．

　　3．通过反复的师生共练，从实践中归纳小结出不等式组解集的规律．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课重点学习用数轴表示不等式组解集的方法，并能熟练地加以应用．

　　（二）整体感知

　　要正确表示出不等式组的解集的关键在于学会用数轴表示．若有解，必为其公共部分；若无公共部分，则为无解．并要正确地理解一元一次不等式组解集的规律．

　　（三）教学过程（fanwen.oyaya.net）

　　1．创设情境，复习引入

　　（1）什么是一元一次不等式，不等式的解，不等式的解集，解不等式？

　　（2）已知一个数 比2大但比4小，请在数轴上表示数 ．

　　学生活动：口答（1）题．板演（2）题，如下图所示：

　　教师分析：一个数 比2大但比4小，说明 取值使不等式 与 都成立，把一元一次不等式 与 合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，记作 在数轴上表示不等式①②的解集

 

　　可以看出，使不等式 ， 都成立的 值，是所有大于2并且小于4的数（记作 ），它们是不等式①、②的解集的公共部分，在数轴上表示成：

 

　　不等式①、②的解集的公共部分，叫做由不等式①、②组成的一元一次不等式组的解集．

　　【教法说明】通过学生板演，教师分析，使学生形成对不等式组解集的初步认识，激发了他们应用旧知识探索新知识的热情．

　　2．探索新知，讲授新课

　　（1）不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们组成的不等式组的解集．

　　说明：求不等式组解集的关键是找不等式解集的“公共部分”．若有公共部分，公共部分即为解集；若无公共部分，则不等式组无解．

　　（2）解不等式组：求不等式组解集的过程叫解不等式组．

　　请同学们根据自己的理解，解答下列各题．

　　例1  利用数轴判断下列不等式组有无解集？若有解集，请求出．

　　① 　② 　③ 　④

　　学生活动：学生在练习本上完成，同时指定四个学生板演．板演完成后，由学生判断是否正确．

　　解：　　　　　　①　　　　　　　　　　　　　　　　②

　　　  　

　　　　不等式组解集为　　　　　　　　　　　不等式组解集为

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　　　④

　　　  　

　　　不等式组解集为　　　　　　　　　　　　不等式组无解

　　　　　

　　【教法说明】教学时，可用彩笔在数轴上描出折线的公共部分，这样可以使学生直观、形象地理解不等式组解集的含义，并掌握解集的表示方法．

　　3．尝试反馈，巩固知识

　　利用数轴判断下列不等式组有无解集？如有，请表示出来．

　　（1） 　（2） 　（3） 　（4）

　　教学活动：独立完成，同桌互阅，投影出示正确答案．

　　教师活动：抽查部分学生，纠正错误．

　　一元一次不等式组中，不等式个数多于两个，解集求法有无变化呢？同学们通过解答下列各题，仔细体会．

　　利用数轴解下列不等式组：

　　（1） 　　　　（2）

　　（3） 　　　（4）

　　学生活动：分析讨论，尝试得出答案；指名回答，与投影出示的正确解题过程对比．

　　答案：（1） 　（2） 　（3） 　（4）无解

　　4．变式训练，培养能力

　　单项选择：

　　（1）不等式组 的整数解是（　）

　　A．0，1　　B．0　　C．1　　D．

　　（2）不等式组 的负整数解是（　）

　　A．－2，0，－1　B．－2　C．－2，－1　D．不能确定

　　（3）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　）

　　 

　　（4）不等式组 的解集在数轴上表示正确的为（　）

　　 

　　（5）根据图中所示可知不等式组的解集为（　）

　　A． 　B． 　C． 　D．

　　学生活动：前后桌结组讨论完成，各组以抢答方式说出答案．

　　参考答案：C，C，D，A，C

　　【教法说明】设置上述题组旨在训练学生的思维能力；以抢答形式完成则是为了激发学生探索知识的热情．

　　（四）总结、扩展

不等式组

1．图示

2．折线特点

3．解集

4．解集与公共部分关系

 

（1）方向相反

（2）有公共部分

折线的公共部分

即为不等式组的解集

 

（1）方向相同

（2）有公共部分

 

（1）方向相同

（2）有公共部分

 

（1）方向相反

（2）无公共部分

无解

折线无公共部分，

不等式组无解

　　学生活动：填出表中，1，2，3，4四部分的内容，并讨论思考下列问题：

　　若 ，不等式组          的解集是什么？有规律可寻吗？

　　【教法说明】学生通过实践尝试得到规律，以此揭示规律存在的一般性、必然性，既训练了学生的归纳总结能力，也充分发挥了主体作用．

　　注意问题：教学时，每组不等式不要超过三个，关键是使学生理解和掌握解不等式的方法，不宜过于难、过于多，避免重复的机械计算．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P78  1；P79   A组1．

　　（二）选择题：

　　填空题：

　　1．不等式组 的非负整数解是_______________．

　　2．若 同时 满足与 ，则 的取值范围是______________．

　　3．一元一次不等式组 （ ）的解集为 ，则 与 的大小关系为____________．

　　【教法说明】补充题旨在训练学生的思维能力、应变能力和解题灵活性．

　　参考答案

　　略．

　　九、板书设计

6.4  一元一次不等式组和它的解法（一）

　　三、小结

教学建议

　　一、知识结构

　　本书首先结合实例引入一元一次不等式组的解集的概念，然后通过三个例题说明利用数轴解一元一次不等式组的方法，最后对一元一次不等式组的解法步骤进行了总结．

　　二、重点、难点分析

　　本节教学的重点是掌握一元一次不等式组的解法步骤并准确地求出解集．难点是正确应用不等式的基本性质对不等式进行变形、求不等式组中各个不等式解集的公共部分．不等式在中学代数中是研究问题的重要工具，例如求函数的定义域、值域、研究函数的单调性，求最大值、最小值，一元二次方程根的讨论等，都要用到不等式的知识．不等式也是进一步学习其他数学内容的基础．学习和掌握不等式的求解和不等式的证明方法，对培养学生逻辑思维能力也有极其重要的作用．在处理解不等式的问题中，一元一次不等式组的解法，具有特别重要的意义．这是因为，解各类不等式的问题都可以归结为解一些由简单不等式所组成的不等式组．

　　1.在构成不等式组的几个不等式中

　　①这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数；②这里的“几个”并未确定不等式的个数，只要不是一个，两个，三个，四个……都行．

　　2.当几个不等式的解集没有公共部分时，我们就说这个不等式组无解．

　　3.由两个一元一次不等式组成的不等式的解集，共归结为下面四种基本情况：

 
 
 

　　【注意】①其中第（4）个不等式组，实质上是矛盾不等式组，任何数  都不能使两个不等式同时成立．所以说这个不等式组无解或说其解集为空集．②从上面列出的表中，我们可以概括出来不等式组公共解的一规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找．

　　三、教法建议

　　1．解本节的引例及例1、例2、例3时，注意把解不等式组的思路讲清楚，即先分别解每一个不等式，求出解集，再求这些解集的公共部分．求公共部分的过程一定要结合数轴来讲．

　　2．这节课的讲解自始至终要突出解不等式组的基本思想以及解一元一次不等式组的步骤这两个重点．准确熟练地解一元一次不等式以及用数轴上的点表示不等式的解集是这节课的基础，因此讲新课之前要复习提问这些内容．

　　3．求公共解集是这节课的新授内容，教师要充分利用数轴表示不等式解集具有形象、直观、易于说明问题这些优点．解集的公共部分教师可用彩笔在数轴的相应部分描画出来，使学生感到醒目，便于理解记忆．

　　4．每组不等式不要超过三个，关键是使学生理解和掌握解不等式组的基本思想和两个步骤，不宜做过于难、过于多、重复的机械计算．

 

一元一次不等式组和它的解法（一）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．理解一元一次不等式组解集的概念，会利用数轴较简单的一元一次不等式组．

　　2．掌握一元一次不等式组解集的几种情况．

　　（二）能力训练点

　　通过利用数轴解不等式组，培养学生的观察能力、分析能力、归纳总结能力．

　　（三）德育渗透点

　　通过不等式组解集的求法，培养学生的观察与分析能力，渗透辩证唯物主义的观点．

　　（四）美育渗透点

　　用数轴求不等式组的解集，渗透用数学图形解题的直观性、简捷性的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：引导发现法、观察法、归纳总结法．

　　2．学生学法：学会利用数轴将两个不等式的解集表示出来，并观察出其公共部分，再小结出不等式组的解集．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　理解一元一次不等式组解集的概念，会用数轴表示一元一次不等式组解集的几种情况．

　　（二）难点

　　正确理解一元一次不等式组解集的含义．

　　（三）疑点

　　弄清一元一次不等式解集和不等式组的解集的关系，以及对四种不等式组解集的一般形式的理解．

　　（四）解决办法

　　加强对不等式组解集含义的理解，并熟练掌握用数轴表示不等式解集，利用观察法、归纳法即可掌握求不等式组解集的办法．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　直尺、铅笔、投影仪或电脑、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．教师设计提问有关一元一次不等式的定义及其解集的概念，并复习用数轴表示一元一次不等式的解集的方法．

　　2．教示范一元一次不等式组解集的四种常规图形的表示方法，并引导学生理解记忆它们．

　　3．通过反复的师生共练，从实践中归纳小结出不等式组解集的规律．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课重点学习用数轴表示不等式组解集的方法，并能熟练地加以应用．

　　（二）整体感知

　　要正确表示出不等式组的解集的关键在于学会用数轴表示．若有解，必为其公共部分；若无公共部分，则为无解．并要正确地理解一元一次不等式组解集的规律．

　　（三）教学过程（fanwen.oyaya.net）

　　1．创设情境，复习引入

　　（1）什么是一元一次不等式，不等式的解，不等式的解集，解不等式？

　　（2）已知一个数 比2大但比4小，请在数轴上表示数 ．

　　学生活动：口答（1）题．板演（2）题，如下图所示：

　　教师分析：一个数 比2大但比4小，说明 取值使不等式 与 都成立，把一元一次不等式 与 合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，记作 在数轴上表示不等式①②的解集

 

　　可以看出，使不等式 ， 都成立的 值，是所有大于2并且小于4的数（记作 ），它们是不等式①、②的解集的公共部分，在数轴上表示成：

 

　　不等式①、②的解集的公共部分，叫做由不等式①、②组成的一元一次不等式组的解集．

　　【教法说明】通过学生板演，教师分析，使学生形成对不等式组解集的初步认识，激发了他们应用旧知识探索新知识的热情．

　　2．探索新知，讲授新课

　　（1）不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分叫做由它们组成的不等式组的解集．

　　说明：求不等式组解集的关键是找不等式解集的“公共部分”．若有公共部分，公共部分即为解集；若无公共部分，则不等式组无解．

　　（2）解不等式组：求不等式组解集的过程叫解不等式组．

　　请同学们根据自己的理解，解答下列各题．

　　例1  利用数轴判断下列不等式组有无解集？若有解集，请求出．

　　① 　② 　③ 　④

　　学生活动：学生在练习本上完成，同时指定四个学生板演．板演完成后，由学生判断是否正确．

　　解：　　　　　　①　　　　　　　　　　　　　　　　②

　　　  　

　　　　不等式组解集为　　　　　　　　　　　不等式组解集为

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　③　　　　　　　　　　　　　　④

　　　  　

　　　不等式组解集为　　　　　　　　　　　　不等式组无解

　　　　　

　　【教法说明】教学时，可用彩笔在数轴上描出折线的公共部分，这样可以使学生直观、形象地理解不等式组解集的含义，并掌握解集的表示方法．

　　3．尝试反馈，巩固知识

　　利用数轴判断下列不等式组有无解集？如有，请表示出来．

　　（1） 　（2） 　（3） 　（4）

　　教学活动：独立完成，同桌互阅，投影出示正确答案．

　　教师活动：抽查部分学生，纠正错误．

　　一元一次不等式组中，不等式个数多于两个，解集求法有无变化呢？同学们通过解答下列各题，仔细体会．

　　利用数轴解下列不等式组：

　　（1） 　　　　（2）

　　（3） 　　　（4）

　　学生活动：分析讨论，尝试得出答案；指名回答，与投影出示的正确解题过程对比．

　　答案：（1） 　（2） 　（3） 　（4）无解

　　4．变式训练，培养能力

　　单项选择：

　　（1）不等式组 的整数解是（　）

　　A．0，1　　B．0　　C．1　　D．

　　（2）不等式组 的负整数解是（　）

　　A．－2，0，－1　B．－2　C．－2，－1　D．不能确定

　　（3）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　）

　　 

　　（4）不等式组 的解集在数轴上表示正确的为（　）

　　 

　　（5）根据图中所示可知不等式组的解集为（　）

　　A． 　B． 　C． 　D．

　　学生活动：前后桌结组讨论完成，各组以抢答方式说出答案．

　　参考答案：C，C，D，A，C

　　【教法说明】设置上述题组旨在训练学生的思维能力；以抢答形式完成则是为了激发学生探索知识的热情．

　　（四）总结、扩展

不等式组

1．图示

2．折线特点

3．解集

4．解集与公共部分关系

 

（1）方向相反

（2）有公共部分

折线的公共部分

即为不等式组的解集

 

（1）方向相同

（2）有公共部分

 

（1）方向相同

（2）有公共部分

 

（1）方向相反

（2）无公共部分

无解

折线无公共部分，

不等式组无解

　　学生活动：填出表中，1，2，3，4四部分的内容，并讨论思考下列问题：

　　若 ，不等式组          的解集是什么？有规律可寻吗？

　　【教法说明】学生通过实践尝试得到规律，以此揭示规律存在的一般性、必然性，既训练了学生的归纳总结能力，也充分发挥了主体作用．

　　注意问题：教学时，每组不等式不要超过三个，关键是使学生理解和掌握解不等式的方法，不宜过于难、过于多，避免重复的机械计算．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P78  1；P79   A组1．

　　（二）选择题：

　　填空题：

　　1．不等式组 的非负整数解是_______________．

　　2．若 同时 满足与 ，则 的取值范围是______________．

　　3．一元一次不等式组 （ ）的解集为 ，则 与 的大小关系为____________．

　　【教法说明】补充题旨在训练学生的思维能力、应变能力和解题灵活性．

　　参考答案

　　略．

　　九、板书设计

6.4  一元一次不等式组和它的解法（一）

　　三、小结

《数学教案－一元一次不等式组和它的解法》