二次根式的乘法

教学建议

　　知识结构：

　　重点难点分析：

　　本节的教学重点是利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化简.积的算术平方根的性质是本节的中心内容，化简和运算都是围绕其进行的，而运用此性质计算化简又是二次根式的化简和混合运算的基础.二次根式的计算和化简通常与如勾股定理等几何方面的知识综合在一起.

　　本节难点是二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.积的算术平方根在应用时既要强调这部分题目中的字母为正数，但又要注意防止学生产生字母只表示正数的片面认识.要让学生认识到积的算术平方根性质与根式的乘法公式是互为逆运算的关系。综合应用性质或乘法公式时要注意题目中的条件一定要满足.

　　教法建议：

　　1. 由于性质、法则和关系式较集中，在二次根式的计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，因此要使学生在认识过程中脉络清楚，条理分明，在教学时就一定要逐步有序的展开.在讲解二次根式的乘法时可以结合积的算术平方根的性质，让学生把握两者的关系。

　　2. 积的算术平方根的性质和 （ ）及比较大小等内容都可以通过从特殊到一般的归纳方法，让学生通过计算一组具体的式子，引导他们做出一般的结论。由于归纳是通过对一些个别的、特殊的例子的研究，从表象到本质，进而猜想出一般的结论，这种思维过程对于初中学生认识、研究和发现事物的规律有着重要的作用，所以在教学中对于培养的思维品质有着重要的作用。

 

教学设计示例

二次根式的乘法(一)

　　一、教学目标

　　1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．

　　2．会进行简单的二次根式的乘法运算．

　　3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．

　　4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．

　　二、教学重点和难点

　　1．重点：会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．

　　2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．

　　三、教学方法

　　从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．

　　四、教学手段

　　利用投影仪．

　　五、教学过程

　　(一)引入新课

　　观察下面的例子：

　

　　

　　于是可得到：

　　又如：

　　

　　类似地可以得到：

　　

　　 (二)新课

　　积的算术平方根．

　　由前面所举特殊的例子，引导学生总结出：一般地，有 (a≥0，b≥0)．

　　积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．

　　要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．

　　根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．

　　例1 把下面各数分解因数：

　　(1)20；　　(2)42；　　(3)63；　　(4)128．

　　说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．

　　解：略．

　　例2 化简：

　　（1） 　　（2）

　　（3） 　　　（4）

　　分析：本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．

　　解：（1）

　　（2）

　　（3）

　　（4）

　　说明：① (a≥0，b≥0)可以推广为 (a≥0，b≥0，c≥0)．

　　②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．

　　③ (4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．

　　④通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．

　　通过例2，我们根据算术平方根的定义，可得出： ， ， 等结果，于是可以总结出：一般地，有

　　 （a≥0）

　　关于a＜0时， ，这种情况将在本章最后一小节专门研究.

　　例3 化简：

　　（1） ；　　（2）

　　分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．

　　解：（1）

　　（2）

　　说明：x²+y²这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．

　　例4 如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．求AB．

　　解：∵  AB²=AC²+BC²

　　∴

　　 (cm)

　　答：AB长26cm．

　　(三)小结

　　1．本节课讲了积的算术平方根的性质

　　 (a≥0，b≥0)．

　　通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．

　　问学生：当a＜0，b＜0， 也有意义，为什么一定要a≥0、b≥0呢？

　　引导学生说出：若a＜0，b＜0， ， 在实数范围内没有意义. 公式显然不成立．

　　2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．

　　3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．

　　(四)练习

　　 1．  化简：

　　（1） ；　　　（2） ；

　　（3） ；　　　　（4） ；

　　（5） ;　　　　(6) ；

　　（7） ；　　（8）

　　 2．  计算：

　　（1） ；　　（2） ；

　　（3） ；　　（4）

　　3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．

　　六、作业

　　教材P．177习题11．2； A组1、2、3、4、5．

　　七、板书设计

 

《二次根式的乘法》