三元一次方程组的解法举例

教学建议

　　一、重点、难点分析

　　本节教学的重点是掌握三元一次方程组的解法，教学难点是解法的灵活运用．能够熟练的解三元一次方程组是进一步学习一次方程组的应用，以及一次不等式组的解法的基础．

　　1．方程组有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程，这样的方程组就是三元一次方程组．

　　2．三元一次方程组的解法仍是用代入法或加减法消元，即通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程．

　　3．如何消元，首先要认真观察方程组中各方程系数的特点，然后选择最好的解法．

　　4．有些特殊方程组，可用特殊的消元方法，有时一下子可消去两个未知数，直接求出一个未知数值来．

　　5．解一次方程组的消元“转化”基本思想，可以推广到“四元”、“五元”等多元方程组，这是今后要学习的内容．

　　二、知识结构

 

　　三、教法建议

　　1. 解三元一次方程组时，由于方程较多，学生容易出错．因此，应提醒学生注意，在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次．

　　2. 消元时，先要考虑好消去哪一个未知数．开始练习时，可以先把要消去的未知数写出来（如教科书在分析中所写的那样），然后再进行消元．

　　在例2中，如果先确定消去 ，那么这三个方程两两分组的方法有3种；①与②，①与③，②与③．我们可以从中任选2种消去 ．这里特别要注意选定2种后，必须消去同一个未知数．如果违背了这一点，所得的两个新方程虽然各含两个未知数，但由它们组成的方程组仍然含有三个未知数，这在实际上没有消元．

 

教学设计示例

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．知道什么是三元一次方程．

　　2．会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组．

　　3．掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元或一元的思路．

　　（二）能力训练点

　　1．培养学生分析能力，能根据题目的特点，确定消元方法、消元对象．

　　2．培养学生的计算能力、训练解题技巧．

　　（三）德育渗透点

　　渗透“消元”的思想，设法把未知数转化为已知．

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的学习，渗透方程恒等变形的数学美，以及方程组解的奇异美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：观察法、讨论法、练习法．

　　2．学生学法：三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键．一般来说应先消去系数最简单的未知数．

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　使学生会解简单的三元一次方程组，经过本课教学进一步熟悉解方程组时“消元”的基本思想和灵活运用代入法、加减法等重要方法．

　　（二）难点

　　针对方程组的特点，选择最好的解法．

　　（三）疑点

　　如何进行消元．

　　（四）解决办法

　　加强理解二元及三元一次方程组的解题思想是“消元”，故在求解中为便于计算应选择系数较简单的未知数将它消去．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　投影仪、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．教师先复习解二元一次方程组的解题思想及办法，让学生充分理解方程组的消元思想及方法．

　　2．教师由引例引出三元一次方程组，由学生思考、讨论后解决如何消三元变二元，教师讲解、小结．

　　3．由学生尝试，解决例题．

　　4．学生练习，教师小结、讲评．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课将学习如何求三元一次方程组的解．

　　（二）整体感知

　　通过复习二元一次方程组的解题思想，从而类推出三元一次方程组的解题思想及解题方法，让学生牢牢抓住利用消元的思想化三元为二元，再化二元为一元的办法来求解．

　　（三）教学过程

　　1．复习导入、探索新知

　　（1）解二元一次方程组的基本方法有哪几种？（2）解二元一次方程组的基本思想是什么？

　　甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．

　　题目中有几个未知数？含有几个相等关系?你能根据题意列出几个方程？

　　学生活动：回答问题、设未知数、列方程．

　　这个问题必须三个条件都满足，因此，我们把三个方程合在一起，写成下面的形式：
　

　　这个方程组有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组，就是我们要学的三元一次方程组．

　　怎样解这个三元一次方程组呢？你能不能设法消云一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程？

　　学生活动：思考、讨论后说出消元方案．

　　教师对学生的回答给予肯定或否定，纠正后说出消元方案：依照代入法，由较简单的方程②，可得 　④，进一步将④分别代入①和③中，就可消去 ，得到只含 、 的二元一次方程组．

　　解：由②，得 　　　　④

　　把④代入①，得 　　⑤

　　把④代入③，得 　　　⑥

　　⑤与⑥组成方程组

　　解这个方程组得

　　把 代入④，得

　　∴

　　∴

　　注意：a．得二元一次方程组后，解二元一次方程的过程在练习本上完成．

　　b．得 ， 后，求 ，要代入前面最简单的方程④．

　　c．检验．

　　这道题也可以用加减法解，②中不含 ，那么可以考虑将①与③结合消去，与②组成二元一次方程组．

　　学生活动：在练习本上用加减法解方程组．

　　【教法说明】通过一题多解，不仅能开阔学生的思维，培养学生的兴趣，而且，可以巩固解方程组时通过“消元”把未知转化为已知的基本思想．

　　2．学生尝试解决例题

　　例1  解方程组

　　学生活动：独立分析、思考，尝试解题，有的学生可能用代入法解，有的学生可能用加减法解，选一个用加减法解的学生板演，然后，让用代入法的学生比较哪种方法简单．

　　解：②×3＋③，得  　　④

　　①与④组成方程组

　　解这个方程组，得

　　把 ， 代入②，得

　　∴

　　∴

　　归纳：这个方程组的特点是方程①不含 ，而②、③中 的系数绝对值成整数倍关系，显然用加减法从②、③中消去 后，再与①组成只含 、 的二元一次方程组的解法最为合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②、③较繁．

　　【教法说明】有了前例的基础，让学生独立尝试解题，可以培养他们分析问题、解决问题的能力；在解题后归纳题目的特点为，点明消元方法和消元对象，更有助于学生探索方法、掌握技巧．

　　3．尝试反馈，巩固知识

　　练习：P30　（1）．

　　学生活动：独立完成练习后，同桌、前后桌之间按不同解法的同学交换，看哪种方法最简单．

　　4．变式训练要，培养能力

　　补例：解方程组

　　学生活动：独立完成．

　　【教法说明】此方程组中方程①、③中 、 的系数完全相同，用③－①可直接得到 ，再把 代入②可求 ，代入①可求 ．这道题直接化三元为一元，能使学生体会到解法技巧的重要性，觉得数学问题真是奥妙无穷!

　　（四）总结、扩展

　　1．解三元一次方程组的基本思想是什么？方法有哪些？

　　2．解题前要认真观察各方程的系数特点，选择最好的解法，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解．

　　3．注意检验．

　　【教法说明】这样总结，既突出了本课重点，又突出了本节内容中例题、习题的特点—某个方程只含两元，使学生在以后解题时有很强的针对性．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P31　　A组1．

　　（二）选做题：解方程组

　　（三）思考题：课本第32页“想一想”．

　　【教法说明】作业（一）是为了巩固本节所学知识；作业（二）有很强的技巧性，可培养学生兴趣；作业（三）培养学生分析问题、解决问题的能力．

《三元一次方程组的解法举例》