分组分解法

教学目标

　　1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；

　　2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.

　　教学重点和难点

　　重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.

　　难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.

　　教学过程设计

　　一、复习

　　把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.

　　(1)a²－ab+3b－3a；　　(2)x²－6xy+9y²－1；

　　(3)am－an－m²+n²；　　(4)2ab－a²－b²+c².

　　解 (1) a²－ab+3b－3a

　　　　　=(a²－ab)－(3a－3b)

　　　　　=a(a－b)－3(a－b)

　　　　　=(a－b)(a－3);

　　　　(2)x²－6xy+9y²－1

　　　　　=(x－3y) ²－1

　　　　　=(x－3y+1)(x－3y－1);

　　　　(3)am－an－m²+n²

　　　　　=(am－an)－(m²－n²)

　　　　　=a(m－n)－(m+n)(m－n)

　　　　　=(m－n)(a－m－n);

　　　　(4)2ab－a²－b²+c²

　　　　　=c²－(a2+b2－2ab)

　　　　　=c²－(a－b) ²

　　　　　=(c+a－b)(c－a+b).

　　第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.

　　第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式

继续分解因式.

　　第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.

　　第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式

，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.

　　把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运

用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.

　　这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.

　　二、新课

　　例1 把 分解因式.

　　问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?

　　答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.

　　解 方法一

　　方法二

　　　　　　　　　　 ；

　　例2 把分解因式.

　　问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?

　　答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.

　　解：

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.

　　分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.

　　解　45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)

　　　　　　　　　　　　=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]

　　　　　　　　　　　　=5a[(3m2)－(2x－y) 2]

　　　　　　　　　　　　=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).

　　例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.

　　分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.

　　解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an

　　　　　　　　　　　　　=(2a2－3an)+(4am－6mn)

　　　　　　　　　　　　　=a(2a－3n)+2m(2a－3n)

　　　　　　　　　　　　　=(2a－3n)(a+2m).

　　指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.
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