绝对值

教学目标

　　1．了解绝对值的概念，会求有理数的绝对值；

　　2．会利用绝对值比较两个负数的大小；

　　3．在绝对值概念形成过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的思维能力．
教学建议

　　一、重点、难点分析

　　绝对值概念 既是本节的教学重点又是教学难点。关于绝对值的概念，需要明确的是无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取任意有理数，都有 。

　　教材上绝对值的定义是从几何角度给出的，也就是从数轴上表示数的点在数轴上的位置出发，得到的定义。这样，数轴的概念、画法、利用数轴比较有理数的大小、相反数，以及绝对值，通过数轴，这些知识都联系在一起了。此外，0的绝对值是0，从几何定义出发，就十分容易理解了。

　　二、知识结构

　　绝对值的定义 绝对值的表示方法 用绝对值比较有理数的大小

　　三、教法建议

　　用语言叙述绝对值的定义，用解析式的形式给出绝对值的定义，或利用数轴定义绝对值，从理论上讲都是可以的．初学绝对值用语言叙述的定义，好像更便于学生记忆和运用，以后逐步改用解析式表示绝对值的定义，即

　　在教学中，只能突出一种定义，否则容易引起混乱．可以把利用数轴给出的定义作为绝对值的一种直观解释．

　　此外，要反复提醒学生：一个有理数的绝对值不能是负数，但不能说一定是正数．“非负数”的概念视学生的情况，逐步渗透，逐步提出．

　　四、有关绝对值的一些内容

　　1．绝对值的代数定义

　　一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．

　　2．绝对值的几何定义

　　在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．

　　3．绝对值的主要性质

　　

　　(2)一个实数的绝对值是一个非负数，即|a|≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．

　　

　　(4)两个相反数的绝对值相等．

　　五、运用绝对值比较有理数的大小

　　1．两个负数大小的比较,因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数左边，所以，两个负数，绝对值大的反而小.

　　比较两个负数的方法步骤是：

　　（1）先分别求出两个负数的绝对值；

　　（2）比较这两个绝对值的大小；

　　（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断．

　　2．两个正数大小的比较，与小学学习的方法一致，绝对值大的较大．

教学设计示例

绝对值（一）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念．

　　2．给出一个数，能求它的绝对值．

　　（二）能力训练点

　　在把绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力．

　　（三）德育渗透点

　　1．通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想．

　　2．从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性．

　　（四）美育渗透点

　　通过数形结合理解绝对值的意义和相反数与绝对值的联系，使学生进一步领略数学的和谐美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：采用引导发现法，辅之以讲授，学生讨论，力求体现“教为主导，学为主体”的教学要求，注意创设问题情境，使学生自得知识，自觅规律．

　　2．学生学法：研究＋6和－6的不同点和相同点→绝对值概念→巩固练习→归纳小结（绝对值代数意义）

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：给出一个数会求出它的绝对值．

　　2．难点：绝对值的几何意义，代数定义的导出．

　　3．疑点：负数的绝对值是它的相反数．

　　四、课时安排

　　2课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪（电脑）、三角板、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　教师提出＋6和－6有何相同点和不同点，学生研究讨论得出绝对值概念；教师出示练习题，学生讨论解答归纳出绝对值代数意义．

　　七、教学步骤

　　（一）创设情境，复习导入

　　师：以上我们学习了数轴、相反数．在练习本上画一个数轴，并标出表示－6，，0及它们的相反数的点．

　　学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画．

　　【教法说明】绝对值的学习是以相反数为基础的，在学生动手画数轴的同时，把相反数的知识进行复习，同时也为绝对值概念的引入奠定了基础，这里老师不包办代替，让学生自己练习．

　　（二）探索新知，导入新课

　　师：同学们做得非常好！－6与6是相反数，它们只有符号不同，它们什么相同呢？

　　学生活动：思考讨论，很难得出答案．

　　师：在数轴上标出到原点距离是6个单位长度的点．

　　学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上做．

　　师：显然A点（表示6的点）到原点的距离是6，B点（表示－6的点）到原点距离是6个单位长吗？

　　学生活动：产生疑问，讨论．

　　师：＋6与－6虽然符号不同，但表示这两个数的点到原点的距离都是6，是相同的．我们把这个距离叫＋6与－6的绝对值．

　　［板书］2.4绝对值（1）

　　【教法说明】针对“互为相反数的两数只有符号不同”提出问题：“它们什么相同呢？”在学生头脑中产生疑问，激发了学生探索知识的欲望，但这时学生很难回答出此问题，这时教师注意引导再提出要求：“找到原点距离是6个单位长度的点”这时学生就有了一个攀登的台阶，自然而然地想到表示＋6，－6的点到原点的距离相同，从而引出了绝对值的概念，这样一环紧扣一环，时而紧张时而轻松，不知不觉学生已获得了知识．

　　师：－6的绝对值是表示－6的点到原点的距离，－6的绝对值是6；

　　    6的绝对值是表示6的点到原点的距离，6的绝对值是6．

　　提出问题：（1）－3的绝对值表示什么？

　　         （2）的绝对值呢？

　　         （3）的绝对值呢？

　　学生活动：（1）（2）题根据教师的引导学生口答，（3）题讨论后口答．

　　［板书］一个数a的绝对值是数轴上表示数a的点到原点的距离．

　　数a的绝对值是|a|

　　【教法说明】由－6，6，－3，这些特殊的数的绝对值引出数的绝对值，逐层铺垫，由学生得出绝对值的几何意义，既理解了一个数的绝对值的含义也训练了学生口头表达能力，突破了难点．

　　（三）尝试反馈，巩固练习

　　师：数可以表示任意数，若把换成，9，0，－1，－0.4观察数轴，它们的绝对值各是多少？

　　学生活动：口答：，，，，

　　师：你在自己画的数轴上标出五个数，让同桌指出它们的绝对值．

　　学生活动：按教师要求自己又当“小老师”又当“学生”．

　　教师找一组学生回答，并及时纠正出现的错误．

　　（出示投影1）

　　例  求8，－8，，的绝对值．

　　师：观察数轴做出此题．

　　学生活动：口答

　　，，，．

　　师：由此题目你能想到什么规律？

　　学生活动：讨论得出—互为相反数的两数绝对值相同．

　　【教法说明】这一环节是对绝对值的几何定义的巩固．这里对于绝对值定义的理解不能空谈“5的绝对值、－7的绝对值是多少”？而是与数轴相结合，始终利用表示这数的点到原点的距离是这个数的绝对值这一概念．教师先阐明这个字母可表示任意数，再把换成一组数，学生自己又把换成了一些数，指出它们的绝对值，这样既理解了数所表示的广泛含义，又巩固了绝对值的定义．然后，通过例题总结出了互为相反数的两数的绝对值相等这一规律，既呼应了前面内容，又升华了绝对值的概念．

　　师：观察数轴，在原点右边的点表示的数（正数）的绝对值有什么特点？

　　在原点左边的点表示的数（负数）的绝对值呢？

　　生：思考，不能轻易回答出来．

　　师：再看前面我们所求的，，，，．你能得出什么规律吗？

　　学生活动：思考后一学生口答．

　　教师纠正并板书：

　　［板书］正数的绝对值是它本身．

　　        负数的绝对值是它的相反数．

　　        0的绝对值是0．

　　师：字母可表示任意的数，可以表示正数，也可以表示负数，也可以表示0．

　　教师引导学生用数学式子表示正数、负数、0，并再提问：这时的绝对值分别是多少？

　　学生活动：分组讨论，教师加入讨论，学生互相补充回答．

　　教师板书：

　　［板书］

　　若，则

　　若，则

　　若，则

　　师强调：这种表示方法就相当于前面三句话，比较起来后者更通俗易懂．

　　【教法说明】用字母表示规律是难点．这时教师放手，让学生有目的地考虑、分析，共同得出结论．

　　巩固练习：

　　（出示投影2）

　　1．化简：，，．

　　，，；

　　2．计算：①．

　　②．

　　③．

　　学生活动：1题口答，2题自己演算，三个学生板演．

　　【教法说明】1题的前四个旨在直接运用绝对值的性质，后两个略有加深，需要讨论后回答；2题（3）小题让学生区别绝对值符号和括号的不同含义．

　　（四）归纳小结

　　师：这节课我们学习了绝对值．

　　（1）一个数的绝对值是在数轴上表示这个数的点到原点的距离；

　　（2）求一个数的绝对值必须先判断是正数还是负数．

　　回顾反馈：

　　（出示投影3）

　　1．－3的绝对值是在_____________上表示－3的点到__________的距离，－3的绝对值是____________．

　　2．绝对值是3的数有____________个，各是___________；

　　   绝对值是2.7的数有___________个，各是___________；

　　   绝对值是0的数有____________个，是____________．

　　   绝对值是－2的数有没有？

　　（总结：）

　　3．（1）若，则；

　　  （2）若，则．

　　【教法说明】教师在总结完本节课的知识要点后，再回头对本节重点内容进行反馈练习，并且注意把知识进行升华．

　　八、随堂练习

　　1．判断题

　　（1）数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离（      ）

　　（2）负数没有绝对值（      ）

　　（3）绝对值最小的数是0（      ）

　　（4）如果甲数的绝对值比乙数的绝对值大，那么甲数一定比乙数大（      ）

　　（5）如果数的绝对值等于，那么一定是正数

　　2．填表

原数

3

     

相反数

 

   

绝对值

   

0

 

倒数

     

　　3．填空

　　（1）；（2）；（3）；

　　（4）；（5）若，则；（6）．

　　九、布置作业

　　课本第66页2、4．

　　十、板书设计

　　

　　随堂练习答案

　　1．√ × √ × ×

　　2．略

　　3．（1），（2）7，（3）－7，（4）2，（5）3或－3，（6）

　　作业答案

　　2．＋7，－7，－0.35，

　　4．＜，＞ ，＞，＝

绝 对 值（二）

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　会利用绝对值比较两个负数的大小．

　　（二）能力训练点

　　利用绝对值概念比较有理数的大小，培养学生的逻辑思维能力．

　　（三）德育渗透点

　　不断加深对有理数比较大小方法的认识，渗透数形结合的思想．

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的学习，学生会发现利用绝对值比较两个负数大小与利用数轴比较任意两个数的大小是和谐统一的，学生会进一步感受到数学的和谐美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：采用引导发现法总结规律，并辅之以变式训练进行扎实巩固，以复习提问作为铺垫，突破难点．

　　2．学生学法：观察→讨论→归纳→练习

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：利用绝对值比较两个负数的大小．

　　2．难点：利用绝对值比较两个异分母负分数的大小．

　　四、教具学具准备

　　投影仪（或电脑）、自制胶片．

　　五、师生互动活动设计

　　教师提出问题，学生讨论归纳；教师出示练习题，学生练习巩固．

　　六、教学步骤

　　（一）创设情境，复习提问

　　师：我们前面学习了绝对值，我相信大家学得都非常好．一定能做好下面这个题．

　　［板书］

　　比较大小

　　   （1）与       与

　　   （2）4与－5          0.9与1.1

　　       －10与0         －9与－1

　　学生活动：（1）题在练习本上演算，两个学生板演，（2）题学生抢答．

　　【教法说明】（1）题是为了分散利用绝对值比较两个负分数的大小这一难点埋下了伏笔，在这个题目中用最简单的“∵，∴”的形式训练学生简单的推理能力．（2）题是复习利用数轴比较两个数的大小，让学生体会出这四个题中觉得难度较大的题目是最后小题两个负数比较大小，从而引出课题．

　　教师板书课题

　　［板书］  2.4   绝对值（2）

　　（二）探索新知，讲授新课

　　1．规律的发现

　　在比较－9与－1时，教师订正的同时要求学生说出比较－9与－1的根据（数轴上的两个数右边的总比左边的大），同时在黑板上（学生在练习本上）画出数轴．

　　提出问题：在数轴上任意取两个负数，比较大小，观察较小的数有什么特点？

　　学生活动：尝试举例，讨论得出结果—两个负数，绝对值大的反而小，或两个负数绝对值小的反而大．（师板书）

　　强调：今后比较两个负数的大小又多了一种方法，即两个负数，绝对值大的反而小．

　　【教法说明】教师注意“放”时要让学生带着针对性的问题去思考、分析，既给学生一片自己发挥想象的天地，又使学生不至于走偏．

　　巩固练习：

　　（出示投影1）

　　比较大小：

　　（1）－3与－8；              （2）－0.1与－0.2；

　　（3）与；             （4）与．

　　学生活动：讨论后抢答．

　　【教法说明】（1）题让学生讨论时注意写好比较大小的格式，运用“∵”、“∴”的格式初步训练学生逻辑推理能力．（2）（3）（4）题通过数的变化，巩固对规律的认识．

　　［板书］

　　解：

　　    ∴       ∴

　　2．出示例题（出示投影2）

　　比较大小

　　（1）与．

　　提出问题：对于异分母的两个负分数怎样利用绝对值比较大小？

　　学生活动：讨论后自己尝试写．

　　师：我们在复习时已比较出了与的绝对值，可以在此基础上直接得出结论．

　　［板书］

　　解：             

　　    ∴        ∴

　　【教法说明】由于复习时学生对与已进行了比较，会非常轻松的完成此题目．教师设置了一级一级的台阶，让学生自己攀登，既发挥了学生的主体作用，又从题目的解决过程中训练了学生的推理能力．

　　巩固练习：（出示投影3）

　　比较大小：

　　（1）与，（2）与．

　　学生活动：两个学生板演，其他学生自己练习．

　　【教法说明】比较两个负分数的大小是这节的重点也是难点，利用这两个小题让学生从整体上把握一下方法，达到熟练掌握的程度．

　　（三）归纳小结

　　师：我们今天主要学习的是两个负数比较大小．

　　（1）两个负数，绝对值大的反而小．

　　（2）利用数轴可以比较任意两个数的大小，包括两个负数．

　　【教法说明】教师的小结必须把今天的所学纳入知识系统，明确说明利用数轴可以比较任意两数的大小，而利用绝对值比较大小只适用于两个负数．

　　七、随堂练习

　　1．判断题

　　（1）两个有理数比较大小，绝对值大的反而小

　　（2）

　　（3）有理数中没有最小的数

　　（4）若，则

　　（5）若，则

　　2．比较大小

　　（1）－2__________5，，－0.01__________－1

　　（2）和（要有过程）

　　3．写出绝对值不大于4的所有整数，并把它们表示在数轴上．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：课本第67页A组7．

　　（二）选做题：课本第68页B组3．

　　九、板书设计

　　

　　随堂练习答案

　　1．× × √ × √

　　2．（1）＜，＜  ＞；（2）＞．

　　3．±1，±2，±3，±4，0．

　　作业答案

　　（一）必做题：7．（1）         （2）

　　（3）              （4）

　　（二）选做题：3．第2

探究活动

　　填空：

　　(1)若|a|＝6，则a＝______；

　　(2)若|-b|＝0.87，则b＝______；

　　

　　(4)若x+|x|＝0，则x是______数．

　　分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个, 它们是互为相反数．由

　　解： (1)∵|a|＝6，∴a＝±6；

　　(2)∵|-b|＝0.87，∴b＝±0.87；

　　  

　　(4)∵x+|x|＝0，∴|x|＝-x．

　　∵|x|≥0，∴-x≥0

　　∴x≤0，x是非正数．

　　点评：“绝对值”是代数中最重要的概念之一，应当从正、逆两个方面来理解这个概念．对绝对值的代数定义，至少要认识到以下四点：

　　(1)任何一个数的绝对值一定是正数或0，即|a|≥0；

　　(2)互为相反数的两个数的绝对值相等，|a|=|-a|；

　　(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数一定是正数或0；如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数一定是负数或0；

　　(4)求一个含有字母的代数式的值，一定要根据字母的取值范围分情况进行讨论．

《绝对值》