垂直于弦的直径

第一课时 垂直于弦的直径（一）

　　教学目标：

　　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

　　(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

　　(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

　　教学重点、难点：

　　重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．

　　   难点：垂径定理的证明．

　　教学学习活动设计：

　　

　　（一）实验活动，提出问题：

　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

　　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

　　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．

　　（二）垂径定理及证明：

　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

　　求证：AE=EB， = ， = ．

　　证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合．因此，AE=BE， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．

　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

　　 CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = .

　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

　　（三）应用和训练

　　例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

　　分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．

　　解：连结OA，作OE⊥AB于E．

　　则AE=EB．

　　∵AB=8cm，∴AE=4cm．

　　又∵OE=3cm，

　　在Rt△AOE中，

　　 (cm)．

　　∴⊙O的半径为5 cm．

　　说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　　关系：r = h+d；　r² = d² + (a/2)²

　　例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）

　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．

　　练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．

　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

　　（四）小节与反思

　　教师组织学生进行：

　　知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

　　方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

　　（五）作业

　　教材P84中11、12、13．

第二课时 垂直于弦的直径（二）

　　教学目标：

　　（1）使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用；

　　（2）通过对推论的探讨，逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题，概括问题的能力．促进学生创造思维水平的发展和提高

　　（3）渗透一般到特殊，特殊到一般的辩证关系．

　　教学重点、难点：

　　重点：①垂径定理的两个推论；②对推论的探究方法．

　　难点：垂径定理的推论1．

　　学习活动设计：

　　(一)分解定理（对定理的剖析）

　　1、复习提问：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧.

　　2、剖析：

　　（教师指导）

　　(二)新组合，发现新问题：（A层学生自己组合，小组交流，B层学生老师引导）

　　 ， ，……（包括原定理，一共有10种）

　　(三)探究新问题，归纳新结论：

　　（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对应的两条弧.

　　（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦对应的两条弧.

　　（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

　　（4）圆的两条平行线所夹的弧相等.

　　(四)巩固练习：

　　练习1、“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?

　　（在推论1（1）中，为什么要附加“不是直径”这一条件．）

　　练习2、按图填空：在⊙O中，

　　（1）若MN⊥AB，MN为直径，则________，________，________；

　　（2）若AC＝BC，MN为直径，AB不是直径，则则________，________，________；

　　（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则________，________，________；

　　（4）若 = ，MN为直径，则________，________，________．

　　（此题目的：巩固定理和推论）

　　（五）应用、反思

　　例、四等分 ．

　　（A层学生自主完成，对于其他层次的学生在老师指导下完成）

　　教材P80中的第3题图，是典型的错误作.

　　此题目的：是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法，通过学生自主操作培养学生的动手能力；通过与教材P80中的第3题图的对比，加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解．培养学生的思维能力．

　　（六）小结：

　　知识：垂径定理的两个推论．

　　能力：①推论的研究方法；②平分弧的作图．

　　（七）作业：教材P84中14题．

第三课时 垂径定理及推论在解题中的应用

　　教学目的：

　　⑴要求学生掌握垂径定理及其推论，会解决有关的证明，计算问题.

　　⑵培养学生严谨的逻辑推理能力；提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识.

　　⑶通过例4（赵州桥）对学生进行爱国主义的教育；并向学生渗透数学来源于实践，又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想

　　教学重点：垂径定理及其推论在解题中的应用

　　教学难点：如何进行辅助线的添加

　　教学内容：

　　(一)复习

　　1．垂径定理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

　　推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

　　2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

　　涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　　关系：r = h+d   ;  r² = d² + (a/2)²

　　3．常添加的辅助线：（学生归纳）

　　⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

　　4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

　　(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

　　例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．

　　说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．

　　例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图）

　　解：分两种情况：

　　（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧

　　过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，

　　又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）

　　由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，

　　在Rt△OEA中，由勾股定理，得

　　，∴

　　同理可得：OF=3

　　∴EF=OE+OF=4+3=7．

　　（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧

　　同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．

　　∴．

　　说明：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．

　　例3、 已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.

　　解：（略，过O作OE⊥AE于E ，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.BC = ）

　　说明：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间找到关系.

　　（三）应用训练：

　　P8l中1题．

　　在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．

　　学生分析，教师适当点拨．

　　分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．

　　（四）小结：

　　1. 垂径定理及其推论的应用注意指明条件.

　　2. 应用定理可以证明的问题；注重构造思想，方程思想、分类思想在解题中的应用.

　　(五)作业：教材P84中15、16题，P85中B组2、3题．

探究活动

　　 如图，直线MN与⊙O交于点A、B，CD是⊙O的直径，CE⊥MN于E，DF⊥MN于F，OH⊥MN于H.

　　（1）线段AE、BF之间存在怎样的关系？线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系？并说明理由.

　　（2）当直线CD的两个端点在MN两侧时，上述关系是否仍能成立？如果不成立，它们之间又有什么关系？并说明理由.

　　（答案提示：（1）AE=BF，CE+DF=2OH，（2）AE=BF仍然成立，CE+DF=2OH不能成立.CE、DF、OH之间应满足）

《垂直于弦的直径》