课例二面角的教学设计与评述

 

 

教学目标：

知识目标：使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念。

技能目标：通过组织引导学生参与“二面角”、“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，培养学生探究能力及数学应用能力，并能解决有关简单的二面角问题。

情感目标：激发学生学习数学的热情。

教学方法：

探导式

教学过程：

引入

师：同学们爬过山吗？

生：爬过，爬过高山，爬过平坦的山，也爬过陡峭的山，很刺激。

师：怎样的山看上去陡峭？

生：山坡与水平面愈垂直，这样的山愈陡峭。

师：怎样的山看上去“平坦”？

生：山坡与水平面所成角愈小，这样的山就愈“平坦”。

师：山坡陡峭与否，跟山坡与水平面所成的角大小有关。

生：老师，山不是凹凸不平，弯曲的吗？它的坡面是不平的，那坡面与水平面所成的角，是怎么回事？

师：现实的山确实是这样凹凸不平，弯曲的，大家对这位同学所提的问题，意见如何？

（学生议论纷纷，思索着。）

生：若从全局来看整个山坡面是凹凸不平，弯曲的，但从局部小范围去看，山坡面可看作“平”，物理中不也是把山坡面看作平面，这样山坡面与水平面所成的角就是平面与平面所成的角。

师：这位同学讲得很好，现实生活中一些问题，只需给适当的数学化，便可转化到数学问题，然后用数学知识加以解决。今天我们研究平面与平面所成的角。

（老师板书课题）二面角

[评：教师的责任就是指导、激发学生积极地思考，帮助学生去观察、分析和判断。把二面角置于爬山的背景之中，这样引进新课，不仅自然，学生学起来兴趣、具体、生动，培养学生用数学意识，更重要的是让学生能够主动去想、去探究，在探究过程中不断检验、判断自己和他人的思维，更好的促使学生提出自己的创见]

新课

师：请同学们阅读课本P39--------P40上数第3行止。

（学生阅读课本）

师：什么是半平面？

生：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中一部分叫做半平面。

师：什么是二面角？及表示方法怎样？

生：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。可表示为

二面角α----AB----β，α，β分别是二面角的面，AB叫二面角的棱。

[评：引导学生阅读课本，对二面角的定义理解及学生自学能力的培养必有好处。]

师：（放出幻灯）以下哪些图形是表示一个二面角？

生：（1）--------（5）是一个二面角，（6）是二个二面角。

[评：对二面角的图形进行变式，有利于学生更深刻理解二面角的本质含义。]

师：（提出问题，老师边演示山的模具，边讲述题意）

山上有一条直道CD与山脚线成30°，一人沿着CD爬上100米后，问这时此人站的地方有多高？

生：此人这时站的高度不定，跟山坡陡度大小有关，当陡度大，此人站的位置就要高，反之，就低。

师：山坡陡度就是山坡面与水平面所成二面角的大小有关，而二面角大小如何去度量呢？

（学生思考）

师：斜线与平面所成角的大小是怎样度量？

生：我知道，斜线和斜线在平面上的射影所成角的大小规定为斜线与平面所成角的大小。

师：对，即把斜线与平面所成角转化为平面几何中的线和线所成角。下面请同学们讨论二面角的度量方法。

（学生独立思考，动手摆弄二面角模具，并与同桌、前后桌同学之间共同讨论。）

师：谁来谈自己的想法。

（学生讲述各自的想法，老师板书。）

生：分别在二个半平面上，过棱上一点O作OA⊥a、OB⊥a，把∠AOB大小规定为二面角大小（图1）。

 生：在一个半平面上取一点A，作AB垂直另一个半平面，B为垂足，过B作OB垂直棱，O为垂足，连OA，把∠AOB大小规定为二面角大小（图2）。

生：过二面角棱上一点0作平面垂直棱，分别交两个面OA，OB，把∠AOB大小规定为二面角大小（图3）。

师：以上几位同学得出∠AOB有什么共同点？

师生一起归纳小结：（1）两条射线OA，OB分别在α，β上，且O在棱a上。（2）OA⊥a，OB⊥a。

师：对于同一个二面角以上三种作法得出的∠AOB大小相同吗？

生：相同。

师：我也有一种想法，请同学们讨论一下。这样行不行。

放出幻灯并讲述想法：如图（4）若∠AOB=30°∠BOD=45°，把∠AOB的大小规定为二面角α--CD--β的大小。

生：不行，当两个面合拢的时候，∠AOB=15°、但二面角为0°，不合常规。

师：如图（5）若“∠BOD=45°”改为“∠BOD=30°”结果又怎样？

生：也不行，当两个平面转“平”的时候，二面角为180°，而∠AOB=60°不合常规。

师：我们把图（1）、（2）、（3）中∠AOB称为二面角α--AB--β的平面角。∠AOB大小就是二面角大小。这样规定，合情合理。同学们提出的图（1）、（2）、（3）是作二面角的平面角常用三种方法。一个二面角中它的平面角是否只有一个？

生：有无数个，但它们大小相等。

[评：学生在参与探讨度量二面角大小方法过程中，生生之间、师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生协作意识形成和创新能力培养。]

师：（放出幻灯）

在正方体----中（如图6）

求二面角--------大小，（2）求二面角--------大小，（3）求二面角--------的正切值，（4）若为中点，作出二面角--------的平面角。（师生一起讨论完成）

（过程略）

[评：从一道题出发通过一题多变，进行变式练习，不仅是使学生掌握知识、形成技能的有效手段，更有利于学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性]

如图7：山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是60°，山坡上有一条直道，它和坡脚的水平线的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后，升高了多少米？

图7

解：已知=100米，设垂直于过的水平平面，垂足为，线段的长度就是所求的高度。在平面内，过点作，垂足是，连结。

平面，

。

因此，就是坡面和水平平面所成的二面角的平面角，=60°。由此得=sin60°=sin30°sin60°=100sin30°sin60°=

答：沿直道前进100米，升高约43。3米。

[评：从实际问题出发，又以实际问题结束，将理论与实际相结合的数学原理，提到了更重要的高度。]

三、小结：

师：同学们把上图中山“去掉”留下的图形是什么几何体？有哪些特征？

生：是一个四面体，这个四面体四个面都是直角三角形。这个图中还包含二面角的平面角、线与面所成角、点到线距离、点到面距离等。

师：这个四面体是立体几何中最常用的一个基本图形，立体中许多问题都可化归到这个四面体进行求解，这就是数学中最常用一种化归思想。关于二面角计算题或证明题，关键找（作）出二面角的平面角，今天我们讲了作二面角的平面角三种方法。这节课讲的两个例题用图（2）方法----三垂线法作二面角的平面角，这样通过作二面角的平面角，把立体几何问题化归为平几问题来处理。许多实际应用题，通过建模，可转化为数学问题来解决。我们的周围处处有数学，希望同学们学会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和研究。

四、作业：P451--6

[评：大多数学生之所以学习有困难，解决问题能力差，问题在于他们所获得的概念、知识不是通过研究事实和现象的途径形成的，而是死记硬背得来的。本课例设计不是简单地将二面角及二面角的平面角定义直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，创设“爬山”的实际问题情景，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程，这样，学生学到的不单是知识本身，也经历了知识的发生、形成过程，同时在分析、探索过程中，依靠自己的独立智慧努力，而获得了一些能够概括大量事实现象和知识，这种知识对学生来说是极为宝贵。]

《课例二面角的教学设计与评述》