三角形的内切圆

1、教材分析

　　（1）知识结构

　　（2）重点、难点分析

　　重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一．

　　难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好．

　　2、教学建议

　　本节内容需要一个课时．

　　（1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；

　　（2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学．

教学目标：

　　1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；

　　2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；

　　3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动．

　　教学重点：

　　三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．

　　教学难点：

　　三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．

　　教学活动设计

　　 （一）提出问题

　　1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?

　　2、分析、研究问题：

　　让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义．

　　3、解决问题：

　　 例1  作圆，使它和已知三角形的各边都相切．

　　引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法．

　　提出以下几个问题进行讨论：

　　①作圆的关键是什么?

　　②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?

　　③这样的点I应在什么位置?

　　④圆心I确定后半径如何找．

　　A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．

　　完成这个题目后，启发学生得出如下结论： 和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．

　　（二）类比联想，学习新知识．

　　1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．

　　2、类比：

名称

确定方法

图形

性质

外心（三角形外接圆的圆心）

三角形三边中垂线的交点

（1）OA=OB=OC；

（2）外心不一定在三角形的内部．

内心（三角形内切圆的圆心）

三角形三条角平分线的交点

（1）到三边的距离相等；

（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

（3）内心在三角形内部．

　　3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

　　4、概念理解：

　　引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解．使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义．“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”．
　（三）应用与反思

　　例2 如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O是三角形的内心．

　　 求∠BOC的度数

　　分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数．因为O是△ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线，于是有∠1十∠3＝ (∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数．

　　解：(引导学生分析，写出解题过程)

　　例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D

　　求证：DE＝DB

　　分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3＝∠4．

　　从结论想，要证DE＝DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样考虑到连结BE．于是得到下述法．

　　证明：连结BE．

　　　E是△ABC的内心

　　　又∵∠1=∠2

　　　∠1=∠2

　　　∴∠1+∠3=∠4+∠5

　　　∴∠BED=∠EBD

　　　∴DE=DB

　　练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内．

　　（四）小结

　　1．教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知三角形的内切圆?学习时互该注意哪些问题?

　　2．学生回答的基础上，归纳总结：

　　(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念．

　　(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径．

　　(3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用．

　　（五）作业

　　教材P115习题中，A组1(3)，10，11，12题；A层学生多做B组3题．

探究活动

　　问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°．

　　（1）要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径（精确到0.1cm）；

　　（2）计算出最大的圆形纸片的半径（要求精确值）．

　　提示：（1）由条件可得AC为四边形似的对称轴，存在内切圆，能用折叠的方法找出圆心：

　　如图2，①以AC为轴对折；②对折∠ABC，折线交AC于O；③使折线过O，且EB与EA边重合．则点O为所求圆的圆心，OE为半径．

　　（2）如图3，设内切圆的半径为r，则通过面积可得：6r+8r=48，∴r=．

《三角形的内切圆》