不等式的证明（二）

第二课时

教学目标

　　1．进一步熟练掌握比较法证明不等式；

　　2．了解作商比较法证明不等式；

　　3．提高学生解题时应变能力.

教学重点  比较法的应用

教学难点  常见解题技巧

教学方法  启发引导式

教学活动

　　（一）导入新课

　　（教师活动）教师打出字幕（复习提问），请三位同学回答问题，教师点评．

　　（学生活动）思考问题，回答．

　　［字幕］1．比较法证明不等式的步骤是怎样的？

　　2．比较法证明不等式的步骤中，依据、手段、目的各是什么？

　　3．用比较法证明不等式的步骤中，最关键的是哪一步？学了哪些常用的变形方法？对式子的变形还有其它方法吗？

　　[点评]用比较法证明不等式步骤中，关键是对差式的变形．在我们所学的知识中，对式子变形的常用方法除了配方、通分，还有因式分解．这节课我们将继续学习比较法证明不等式，积累对差式变形的常用方法和比较法思想的应用．（板书课题）

　　设计意图：复习巩固已学知识，衔接新知识，引入本节课学习的内容．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）提出问题，引导学生研究解决问题，并点评．

　　（学生活动）尝试解决问题．

　　 [问题]

　　1．化简

　　2．比较 与 （ ）的大小．

　　（学生解答问题）

 　　［点评］

　　①问题1，我们采用了因式分解的方法进行简化．

　　②通过学习比较法证明不等式，我们不难发现，比较法的思想方法还可用来比较两个式子的大小．

　　设计意图：启发学生研究问题，建立新知，形成新的知识体系．

　　【例题示范，学会应用】

　　（教师活动）教师打出字幕（例题），引导、启发学生研究问题，井点评解题过程．

　　（学生活动）分析，研究问题．

　　［字幕］例题3  已知a，b是正数，且 ，求证

 　　［分析］依题目特点，作差后重新组项，采用因式分解来变形．

　　证明：（见课本）

　　［点评］因式分解也是对差式变形的一种常用方法．此例将差式变形为几个因式的积的形式，在确定符号中，表达过程较复杂，如何书写证明过程，例3给出了一个好的示范．

　　[字幕]例4试问： 与 （ ）的大小关系．并说明理由．

　［分析］作差通分，对分子、分母因式分解，然后分类讨论确定符号．

　　解：

　　因为 ，所以 ，

　　若 ，则   所以 ．

　　即

　　若 ，则 所以 ．

　　即

　　若 ，则 所以 ．

　　即

　　综上所述： 时，

                  时，

                  时，

　　［点评］解这道题在判断符号时用了分类讨论，分类讨论是重要的数学思想方法．要理解为什么分类，怎样分类．分类时要不重不漏．

　　［字幕］例5甲、乙两人同时同地沿同一条路线走到同一地点．甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，问甲、乙两人谁先到达指定地点．

　　[分析]设从出发地点至指定地点的路程为 ，甲、乙两人走完这段路程用的时间分别为 ， ，要回答题目中的问题，只要比较 、 的大小就可以了．

　　解：（见课本）

　　［点评］此题是一个实际问题，学习了如何利用比较法证明不等式的思想方法解决有关实际问题．要培养自己学数学，用数学的良好品质．

　　设计意图：巩固比较法证明不等式的方法，掌握因式分解的变形方法和分类讨论确定符号的方法．培养学生应用知识解决实际问题的能力．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）教师打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请甲、乙两位学生板演；巡视学生的解题情况，对正确的给予肯定，对偏差及时纠正；点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演．

　　［字幕］练习：1．设 ，比较 与 的大小．

　　 2．已知 ， ，求证

　　设计意图：掌握比较法证明不等式及思想方法的应用．灵活掌握因式分解法对差式的变形和分类讨论确定符号．反馈信息，调节课堂教学．

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题的解题过程，小结对差式变形、确定符号的常用方法和利用不等式解决实际问题的解题步骤．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

　　1．比较法不仅是证明不等式的一种基本、重要的方法，也是比较两个式子大小的一种重要方法．

　　2．对差式变形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．

　　3．会用分类讨论的方法确定差式的符号．

　　4．利用不等式解决实际问题的解题步骤：①类比列方程解应用题的步骤．②分析题意，设未知数，找出数量关系（函数关系，相等关系或不等关系），③列出函数关系、等式或不等式，④求解，作答．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握用比较法证明不等式的知识体系．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识及数学思想与方法．

    （学生活动）与教师一道小结，并记录笔记．

　　本节课学习了对差式变形的一种常用方法——因式分解法；对符号确定的分类讨论法；应用比较法的思想解决实际问题．

　　通过学习比较法证明不等式，要明确比较法证明不等式的理论依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在以后的学习中继续积累方法，培养用数学知识解决实际问题的能力．

　　设计意图：培养学生对所学的知识进行概括归纳的能力，巩固所学的知识，领会化归、类比、分类讨论的重要数学思想方法．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P17   7、8。

　　2，思考题：已知 ，求证

　　3．研究性题：对于同样的距离，船在流水中来回行驶一次的时间和船在静水中来回行驶一次的时间是否相等？（假设船在流水中的速度和部在静水中的速度保持不变）

　　设计意图：思考题让学生了解商值比较法，掌握分类讨论的思想．研究性题是使学生理论联系实际，用数学解决实际问题，提高应用数学的能力．

　　（五）课后点评

　　1．教学评价、反馈调节措施的构想：本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反馈学习信息，调节教学活动．

　　2．教学措施的设计：由于对差式变形，确定符号是掌握比较法证明不等式的关键，本节课在上节课的基础上继续学习差式变形的方法和符号的确定，例3和例4分别使学生掌握因式分解变形和分类讨论确定符号，例5使学生对所学的知识会应用．例题设计目的在于突出重点，突破难点，学会应用．

　　作业答案

　　思考题：证明：

　　因为 ，所以当 时， ，故

　　又因为 ，所以

　　当 时， ，故 ，即 ，所以

　　当 时， .故 ，即 ，所以

　　综上所述，

　　研究性题：设两地距离为 ，船在静水中的速度为 ，水流速度为 （ ），则

　　所以船在流水中来回行驶一次的时间比在静水中来回行驶一次的时间长．

 

第三课时

教学目标

　　1.掌握综合法证明不等式；

　　2.熟练掌握已学的重要不等式；

　　3.增强学生的逻辑推理能力.

教学重点  综合法

教学难点  不等式性质的综合运用

教学方法  启发引导式

教学活动

　　（－）导入新课

　　（教师活动）打出字幕（课前练习），引导学生回忆所学的知识，尽量用多种方法完成练习，投影学生不同解法，并点评．

　　（学生活动）完成练习．

　　［字幕］

　　1．证明 （ ）．

　　2．比较 与 的大小，并证明你的结论．

　　1．证法一：由 ，所以

　　方法二：由 ，知 ，即 ，所以

　　2．答：

　　证法一：由 ，所以

　　证法二：由 知 ，所以

　　［点评］两道题的证法一都是用的比较法，证法二我们在6．1节和6．2节已学过，这种方法是综合法，是本节课学习的内容．（板书课题）

　　设计意图：通过练习，复习比较法证明不等式，导入新课：综合法证明不等式．提出学习任务．

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索，建立新知】

　　（教师活动）教师提出问题：用上述方法二证明 ，并点评证法的数学原理，

　　（学生活动）学生研究证明不等式．

　　 [问题]证明

　　（证明：因为 ，所以 ，即 ．）

　　[点评]

　　①利用某些已知证明过的不等式（例如平均值定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法．

　　②综合法证题方法：由已知推出结论．这里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性质．

　　设计意图：探索解决问题的新方法，建立新知识，构建用综合法证明不等式的方法原理．

　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用综合法证明不等式，并点评用综合法证明不等式必须注意的问题．

　　（学生活动）学生在教师诱导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证．

　　例1　已知 ，求证

　　［分析］由于不等式左边是和的形式，右边为常数，可用平均值定理作为已知不等式推证．

　　证明：因为 ，则 ，所以 ．故

 　　［点评］此题的证明方法是综合法，在证明过程中，把平均值定理作为已知不等式，而平均值定理是有条件限制的，所以要用重要不等式作为已知不等式，注意要证的不等式必须符合重要不等式的条件和结构特征．

　　例2  已知a，b，c是不全相等的正数，求证

　　[分析]由不等式右边为6abc是积的形式，左边是和的形式，可知由 出发可证．

　　证明一（见课本）

　　证明二：　

　　　　　　

　　　　　　

　　因为a，b，c是不全相等的正数．所以 ， ， ，且三式不能全取“=”号．

　　所以                  

　　即     

　　[点评]

　　①综合法的思维特点是：由已知推出结论．用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）； （a，b同号）， （ ）。

　　②此例中条件a，b，c是不全相等的正数，所以最后所证不等式取不到等号．

　　③由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出

的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明．

　　我们在证明不等式时，选择方法要适当，不要对某种方法抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法．

　　设计意图：巩固用综合法证明不等式的知识，掌握用综合法证明不等式中，常用的重要不等式，理解综合法证明不等式与比较法证明不等式的内在联系．

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的证法给予肯定，对偏差及时纠正，点评练习中存在的问题．

　　（学生活动）在笔记本上完成练习．甲、乙两位同学板演．

　　［字幕］练习1 已知，求证

　　2．已知 ，求证

　　设计意图：掌握用综合法证明不等式，并会灵活运用重要不等式作为证明中的已知不等式．反馈课堂效果，调节课堂教学．

　　【分析归纳，小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程．小结用综合法证明不等式的解题方法．

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录在笔记本上．

　　1．综合法是证明不等式的基本方法．用综合法证明不等式的逻辑关系是： … （A为已经证明过的不等式，B为要证的不等式）．即综合法是“由因导果”．

　　2．运用不等式的性质和已证明过的木等式时，要注意它们各自成立的条件，这样才能使推理正确，结论无误．

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握综合法证明不等式的方法．

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识．

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录在笔记本上．

　　本节课学习了用综合法证明不等式，用综合法证明不等式的依据是：l。已知条件和不等式性质；2．基本不等式．能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式时，要注意定理的使用条件和定理中“=”号成立的条件．

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识．

　　（四）布置作业

　　1．课本作业：P17  5．6．

　　2．思考题：若 ，求证

　　3．研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于 千米．

　　那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？

　　设计意图：课本作业巩固基础知识，思考题供学有余力的同学完成．研究性题培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．

　　（五）课后点评

　　1．在导入新课时设计了两个练习题，尤其是稍放开一点的第2题，如果学生能自觉不自觉地用已学过的很常用而没正式讲过的综合法的思考方法解题，综合法的引入就会很自然，即使学生没有想到，教师引导起来也并不困难．因而顺着学生的思路，帮助学生形成用综合法证明不等式的知识结构．

　　2．例1与例2的学习使学生理解掌握综合法证明不等式的原理，发现综合法与比较法的内在联系．在教学设计上，力图从学生的需要出发设计问题，帮助学生抓住知识的内在联系，使学到的方法能用、会用．

　　作业答案

　　思考题：证明：因为 ，又因为 ，所以 ．同理 ； 将上述三个不等式相加得

　　所以           

　　研究性题：设最后一辆车到达时用的时间为 小时，则

　　所以最短时间为12小时．

《不等式的证明（二）》