不等式的解法举例

教学目标

　　（1）能熟练运用不等式的基本性质来解不等式；

　　（2）在巩固一元一次不等式和一元一次不等式组、一元二次不等式的解法基础上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；

　　（3）能将较复杂的绝对值不等式转化为简单的绝对值不等式、一元二次不等式（组）来解；

　　（4）通过解不等式，要向学生渗透转化、数形结合、换元、分类讨论等数学思想；

　　（5）通过解各种类型的不等式，培养学生的观察、比较及概括能力，培养学生的勇于探索、敢于创新的精神，培养学生的学习兴趣．

教学建议

一、知识结构

　　本节内容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，简单的绝对值不等式及分式不等式的解法基础上，进一步深入研究较为复杂的绝对值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是运用不等式的性质和有关定理、法则，将这些不等式等价转化为一次不等式（组）或二次不等式的求解，具体地说就是含有绝对值符号的不等式去掉绝对值符号，无理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式为：
  ;

 ;

 ;

  

二、重点、难点分析

　　本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式 的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当 为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当 为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.

三、教学建议

　　(1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.

　　(2)在研究不等式 的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,启发学生运用换元思想将 替换成 ,从而转化一元二次不等式组的求解.

　　(3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“ ”中的两个不等式的解集间的交并关系，“ ” 两个不等式的解集间的交并关系.

　　(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“ ”.

　　(5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.

　　(6)分式不等式 与高次不等式 的等价原因, 可以认为是不等式 两端同乘以正数 ,不等号不改变方向所得;也可以认为是 与 符号相同所得.

　　(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数(如分母是 )时，应将其去掉，从而使不等式化简.

　　(8)建议补充简单的无理不等式 的解法,其中 为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对 的影响,即 保证了 ,而 却不能保证这一点,所以要分 和 两种情况进行讨论.

　　(9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.

 

教学设计示例

分式不等式的解法

教学目标

　　1．掌握分式不等式向整式不等式的转化；
　　2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；
　　3．掌握分式不等式基本解法.

教学重点难点

　　重点是分式不等式解法
　　难点是分式不等式向整式不等式的转化

教学方法

　　启发式和引导式

教具准备

　　三角板、幻灯片

教学过程（fanwen.oyaya.net）

1．复习回顾：

　　前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法.

2．讲授新课：

例3  解不等式 ＜0.

　　分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：

　　因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.

　　另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x²－3x＋2）(x²－2x－3)＜0

　　即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0

　　令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0

　　可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.

　　由数轴标根法可得所求不等式解集为：

　　{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}

　　说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；

　　（2）让学生思考 ≤0的等价变形.

例4  解不等式 ＞1

　　分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.

　　解：原不等式等价变形为：

 －1＞0

　　通分整理得： ＞0

　　等价变形为：（x²－2x＋3）(x²－3x＋2)＞0

　　即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0

　　由数轴标根法可得所求不等式解集为：

　　　　{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}

　　说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.

3．课堂练习：

　　课本P₁₉练习1.

　　补充：（1） ≥0；

　　　　　（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.

课堂小结

　　通过本节学习，要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.

课后作业

　　习题6.4  3,4.

板书设计

●教学后记

 

探究活动

　　试一试用所学知识解下列不等式：

　　（1） ；

　　（2） ；

　　（3） ．

答案： （1）原式

　　观察这个不等式组，由于要求 ，同时要求 ，所以①式可以不解．

　　∴ 原式



　　如下图

　　∴

　　（2）分析 当 时，不等式两边平方，当 时，在 有意义的前提下恒成立．

　　原式 （Ⅰ）

　　或（Ⅱ）

　　由于同时满足（2）、（3）式，所以（1）式免解．

　　∴ （Ⅰ）式



　　（Ⅱ）式 ．

　　综合（Ⅰ）、（Ⅱ），得 ．

　　（3）分析 当 时，不等式两边平方，当 时，原式解集为 ．

　　原式

　　观察不等式组，设有可以免解的不等式．

　　原式

如下图

　　∴

《不等式的解法举例》