复数的有关概念

教学目标

　　（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
　　（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；
　　（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
　　（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

 

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

　　本节首先介绍了复数的有关概念，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念．

2、重点、难点分析

　　（1）正确复数的实部与虚部

　　对于复数 ，实部是 ，虚部是 ．注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

　　说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

　　（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

　　分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

　　①设 ，则 为实数

　　② 为虚数

　　③ 且 。

　　④ 为纯虚数 且

（3）不能乱用复数相等的条件解题．用复数相等的条件要注意：

　　①化为复数的标准形式

       ②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

　　①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的．

　　②复数 用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度．

　　③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当 时， 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

　　由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

　　④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．

（5）关于共轭复数的概念

　　设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数（不能认为 与 或 是共轭复数）．

　　教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 时， 与 互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．

（6）复数能否比较大小

　　教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

　　①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 ．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

　　②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

　　(i)对于任意两个实数a， b来说，a＜b， a=b， b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

　　(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

　　(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

　　(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

（二）教法建议

　　1．要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系．

　　2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

　　3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

 

复数的有关概念

教学目标

　　1．了解复数的实部，虚部；

　　2．掌握复数相等的意义；

　　3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．

教学重点

　　复数的概念，复数相等的充要条件．

教学难点

　　用复平面内的点表示复数Ｍ．

教学用具：直尺

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习提问：

　　1．复数的定义。

　　2．虚数单位。

二、讲授新课

　　1．复数的实部和虚部：

　　复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

　　2．复数相等

　　如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

　　即： 的充要条件是 且 。

　　例如：   的充要条件是 且 。

　　例1： 已知   其中 ，求x与y.

　　解：根据复数相等的意义，得方程组：

     

　　∴

　　例2：m是什么实数时，复数 ,

　　(1)    是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数.

　　解：

　　(1) ∵ 时，z是实数,

       ∴ ,或 .

　　(2)    ∵ 时，z是虚数,

　　 ∴ ，且

　　(3)    ∵ 且 时，

　　z是纯虚数. ∴

　　3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义

　　建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

　　复数 可用点 来表示．（如图）其中x轴叫实轴，y轴 除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上，不在虚轴上．

　　4．复数的几何意义：

　　复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．

　　5．共轭复数

　　（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

　　（2）复数z的共轭复数用 表示．若 ，则： ；

　　（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

　　（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称．

三、练习   1,2,3,4.

四、小结：

　　1．在理解复数的有关概念时应注意：

　　（1）明确什么是复数的实部与虚部；

　　（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

　　（3）弄清复平面与复数的几何意义；

　　（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

　　2．复数集与复平面上的点注意事项：

　　（1）复数 中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

　　（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

　　（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

　　（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业   1,2,3,4,

六、板书设计：

§8,2　复数的有关概念

1定义：　　例1 　  3定义:　　　4几何意义:

……　　   ……　　 ……        ……

2定义：　　例2                 5共轭复数:

……　　   ……　　 ……        ……　　　

   

《复数的有关概念》