数学教案－排列教学目标

教学目标
　　（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；
　　（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；
　　（3）掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；
　　（4）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；
　　（5）通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，以培养学生严谨的学习态度。

 

教学建议

一、知识结构

 

二、重点难点分析

　　本小节的重点是排列的定义、排列数及排列数的公式，并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题．难点是导出排列数的公式和解有关排列的应用题．突破重点、难点的关键是对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中．

　　从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中任取m个元素的一个排列．因此，两个相同排列，当且仅当他们的元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同．排列数是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有不同排列的种数，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能计算相应的排列数．排列与排列数是两个概念，前者是具有m个元素的排列，后者是这种排列的不同种数．从集合的角度看，从n个元素的有限集中取出m个组成的有序集，相当于一个排列，而这种有序集的个数，就是相应的排列数．

　　公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．要重点分析好 的推导．

　　排列的应用题是本节教材的难点，通过本节例题的分析，应注意培养学生解决应用问题的能力．

　　在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．

　　在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．

三、教法建议

　　①在讲解排列数的概念时，要注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念．一个排列是指“从n个不同元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排”，它不是一个数，而是具体的一件事；排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是一个数．例如，从3个元素a，b，c中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一排，有如下几种：

                 ab，ac，ba，bc，ca，cb，

　　其中每一种都叫一个排列，共有6种，而数字6就是排列数，符号  表示排列数．

　　②排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．

　　从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列．

　　在定义中“一定顺序”就是说与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．

　　在排列的定义中  ，如果  有的书上叫选排列，如果  ，此时叫全排列．

要特别注意，不加特殊说明，本章不研究重复排列问题．

　　③关于排列数公式的推导的教学．公式推导要注意紧扣乘法原理，借助框图的直视解释来讲解．课本上用的是不完全归纳法，先推导   ，…，再推广到  ，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的．

　　导出公式  后要分析这个公式的构成特点，以便帮助学生正确地记忆公式，防止学生在“n”、“m”比较复杂的时候把公式写错．这个公式的特点可见课本第229页的一段话：“其中，公式右边第一个因数是n，后面每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是  ，共m个因数相乘．”这实际是讲三个特点：第一个因数是什么？最后一个因数是什么？一共有多少个连续的自然数相乘．

　　公式  是在引出全排列数公式  后，将排列数公式变形后得到的公式．对这个公式指出两点：（1）在一般情况下，要计算具体的排列数的值，常用前一个公式，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证，要用到这个公式，教材中第230页例2就是用这个公式证明的问题；（2）为使这个公式在 时也能成立，规定 ，如同 时 一样，是一种规定，因此，不能按阶乘数的原意作解释．

　　④建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解．

　　⑤学生在开始做排列应用题的作业时，应要求他们写出解法的简要说明，而不能只列出算式、得出答数，这样有利于学生得更加扎实．随着学生解题熟练程度的提高，可以逐步降低这种要求．

 

教学设计示例

排列

教学目标

　　（1）正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；

　　（2）了解排列和排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；

　　（3）会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；

教学重点难点

　　重点是排列的定义、排列数并运用这个公式去解决有关排列数的应用问题。

　　难点是解有关排列的应用题。

教学过程（fanwen.oyaya.net）设计

一、 复习引入

　　上节课我们学习了两个基本原理，请大家完成以下两题的练习（用投影仪出示）：

　　1．书架上层放着50本不同的社会科学书，下层放着40本不同的自然科学的书．

　　（1）从中任取1本，有多少种取法？

　　（2）从中任取社会科学书与自然科学书各1本，有多少种不同的取法？

　　2．某农场为了考察三个外地优良品种A，B，C，计划在甲、乙、丙、丁、戊共五种类型的土地上分别进行引种试验，问共需安排多少个试验小区？

　　找一同学谈解答并说明怎样思考的的过程

　　第1（1）小题从书架上任取1本书，有两类办法，第一类办法是从上层取社会科学书，可以从50本中任取1本，有50种方法；第二类办法是从下层取自然科学书，可以从40本中任取1本，有40种方法．根据加法原理，得到不同的取法种数是50+40=90．第（2）小题从书架上取社会科学、自然科学书各1本（共取出2本），可以分两个步骤完成：第一步取一本社会科学书，第二步取一本自然科学书，根据乘法原理，得到不同的取法种数是： 50×40=2000．

　　第2题说，共有A，B，C三个优良品种，而每个品种在甲类型土地上实验有三个小区，在乙类型的土地上有三个小区……所以共需3×5=15个实验小区．

二、 讲授新课

　　学习了两个基本原理之后，现在我们继续学习排列问题，这是我们本节讨论的重点．先从实例入手：

　　1．北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同飞机票？

　　由学生设计好方案并回答．

　　（1）用加法原理设计方案．

　　首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票；若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票．

　　（2）用乘法原理设计方案．

　　首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法．即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选．那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种．

　　根据以上分析由学生（板演）写出所有种飞机票

 

　　再看一个实例．

　　在航海中，船舰常以“旗语”相互联系，即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可以表示出多少种不同的信号？

　　找学生谈自己对这个问题的想法．

　　事实上，红、黄、绿三面旗子按一定顺序的一个排法表示一种信号，所以不同颜色的同时升起可以表示出来的信号种数，也就是红、黄、绿这三面旗子的所有不同顺序的排法总数．

　　首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有3种方法；

　　其次，确定中间位置的旗子，当最高位置确定之后，中间位置的旗子只能从余下的两面旗中去取，有2种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．

　　根据乘法原理，用红、黄、绿这三面旗子同时升起表示出所有信号种数是：3×2×1=6（种）．

　　根据学生的分析，由另外的同学（板演）写出三面旗子同时升起表示信号的所有情况．（包括每个位置情况）

 

　　第三个实例，让全体学生都参加设计，把所有情况（包括每个位置情况）写出来．

　　由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？写出这些所有的三位数．

　　根据乘法原理，从四个不同的数字中，每次取出三个排成三位数的方法共有4×3×2=24（个）．

 

　　请板演的学生谈谈怎样想的？

　　第一步，先确定百位上的数字．在1，2，3，4这四个数字中任取一个，有4种取法．

　　第二步，确定十位上的数字．当百位上的数字确定以后，十位上的数字只能从余下的三个数字去取，有3种方法．

　　第三步，确定个位上的数字．当百位、十位上的数字都确定以后，个位上的数字只能从余下的两个数字中去取，有2种方法．

　　根据乘法原理，所以共有4×3×2=24种．

　　下面由教师提问，学生回答下列问题

　　（1）以上我们讨论了三个实例，这三个问题有什么共同的地方？

　　都是从一些研究的对象之中取出某些研究的对象．

　　（2）取出的这些研究对象又做些什么？

　　实质上按着顺序排成一排，交换不同的位置就是不同的情况．

　　（3）请大家看书，第×页、第×行． 我们把被取的对象叫做双元素，如上面问题中的民航站、旗子、数字都是元素．

　　上面第一个问题就是从3个不同的元素中，任取2个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，后来又写出所有排法．

　　第二个问题，就是从3个不同元素中，取出3个，然后按一定顺序排成一列，求一共有多少排法和写出所有排法．

　　第三个问题呢？

　　从4个不同的元素中，任取3个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法，并写出所有的排法．

　　给出排列定义

　　请看课本，第×页，第×行．一般地说，从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情况），按着一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

　　下面由教师提问，学生回答下列问题

　　（1）按着这个定义，结合上面的问题，请同学们谈谈什么是相同的排列？什么是不同的排列？

　　从排列的定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序（即元素所在的位置）也必须相同．两个条件中，只要有一个条件不符合，就是不同的排列．

　　如第一个问题中，北京—广州，上海—广州是两个排列，第三个问题中，213与423也是两个排列．

　　再如第一个问题中，北京—广州，广州—北京；第二个问题中，红黄绿与红绿黄；第三个问题中231和213虽然元素完全相同，但排列顺序不同，也是两个排列．

　　（2）还需要搞清楚一个问题，“一个排列”是不是一个数？

　　生：“一个排列”不应当是一个数，而应当指一件具体的事．如飞机票“北京—广州”是一个排列，“红黄绿”是一种信号，也是一个排列．如果问飞机票有多少种？能表示出多少种信号．只问种数，不用把所有情况罗列出来，才是一个数．前面提到的第三个问题，实质上也是这样的．

三、 课堂练习

　　大家思考，下面的排列问题怎样解？

　　有四张卡片，每张分别写着数码1，2，3，4．有四个空箱，分别写着号码1，2，3，4．把卡片放到空箱内，每箱必须并且只能放一张，而且卡片数码与箱子号码必须不一致，问有多少种放法？（用投影仪示出）

　　分析：这是从四张卡片中取出4张，分别放在四个位置上，只要交换卡片位置，就是不同的放法，是个附有条件的排列问题．

　　解法是：第一步把数码卡片四张中2，3，4三张任选一个放在第1空箱．

　　第二步从余下的三张卡片中任选符合条件的一张放在第2空箱．

　　第三步从余下的两张卡片中任选符合条件的一张放在第3空箱．

　　第四步把最后符合条件的一张放在第四空箱．具体排法，用下面图表表示：

 所以，共有9种放法．

四、作业

　　课本：P232练习1，2，3，4，5，6，7．

《数学教案－排列教学目标》