角的度量

教学建议

　　一、知识结构

 

　　二、重点、难点分析

　　本节教学的重点是角度计算中的进位制问题、互余与互补的概念；难点是互余与互补概念的理解和应用．熟练掌握角的度量的相关知识可以为进一步研究相交线、平行线打下基础．

　　1．度、分、秒的互换：如果一个角比1°还小，那么怎样度量它的大小？为了更精密地度量角．我们把1°的角60等份，每一份叫做1分的角，1分记作1'；又把1'的角60等份，每一份叫做1秒的角，1秒记作1''．即1°＝60'，1'＝60''．这表明角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．例如：∠α的度数是32度48分51秒．记作∠α＝32°48'51''．除法过程中，要注意度、分、秒是六十进制的，要把度的余数乘以60化为分，继续除得精确到分，把分的余数乘以60化为秒，继续除得精确到秒的近似值．

　　2．若两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，若两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．理解这两个概念，要把握以下几点：（1）必须具备两个角；（2）两个角的和是一个定值：互余两角的和是 ，互补两角的和是 ；（3）与两个角的位置无关，只考虑两角间的数量关系．

　　3．结合小学已经学过的概念，说明小于平角的角可以按照大小分成三类．分类的思想对于科学研究比较重要．要按照某种特征进行分类，例如按照大小、按照轻重，等等．分类要不重不漏．就是说，在把一群事物分类时，要使其中的每一事物都归入某一类，不能无类可归（不漏），并且只归入某一类，不能既归入这一类，又归入另一类或另几类（不重）．这里只是初步渗透分类的思想，以后还要遇到分类，如三角形的分类．

　　三、教法建议

　　1．本节的教学内容中，对分类的数学思想加强了要求，由于分类的思想不是第一次出现，因此，可以简单进行小结，使得学生能够加深认识．使学生自己能对一些事物进行分类．

　　2．在角的内容中，对角的进位制要加以重视，因为这是与十进制不同的进制，以后由于不同的需要还会遇到不同的进制，在这里讲清楚后，以后再遇到，就会感到自然了．同时对于60这个数的特点进行分析，使学生对角的一些运算能很灵活．

　　3．角的单位中的大、小单位的互化比课本的要求要高，应该尽可能的掌握．

　　4．本节在对学生活动的安排上，时间可多一些，教师也可以根据情况酌情安排．在安排学生自己出题时，应多加鼓励，尽量用学生自己出的题．目的是调动学生学习的积极性．

 

教学设计示例

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．理解互为余角、互为补角的定义．

　　2．掌握有关补角和余角的性质．

　　3．应用以上知识点解决有关计算和简单推理问题．

　　（二）能力训练点

　　1．通过例3的讲解，培养学生用代数方法解几何问题的思路．

　　2．通过有关余角、补角性质的推导，初步培养学生逻辑思维和推理能力．

　　（三）德育渗透点

　　通过互余、互补角性质的推导，说明事物之间具有普遍的联系性．

　　（四）美育渗透点

　　通过互余、互补的演示，使学全体会几何图形的动态美，通过性质的推导，使学生初步领略几何逻辑推理的严密美．

　　二、学法引导

　　1．教师教法：引导发现、尝试指导相结合．

　　2．学生学法：学生积极参与，动手动脑，与主动发现相结合；

　　三、重点·难点·疑点及解决办法

　　（一）重点

　　互为余角、互为补角的角的概念及有关余角、补角的性质．

　　（二）难点

　　有关余角和有关补角性质的推导．

　　（三）疑点

　　互余、互补的两个角图形的位置关系．

　　（四）解决办法

　　对重点、难点，应巧妙引导学生去发现，通过动手、动脑解决问题．

　　对疑点，由学生思考并讨论，互相叙述“为什么”并相互纠正，同时，由教师进行逻辑点拨．

　　四、课时安排

　　1课时

　　五、教具学具准备

　　投影仪或电脑、三角板、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．通过教师演示，学生活动的方法创设情境，引出课题．

　　2．通过学生讨论，归纳总结出互余、互补的定义，并通过两个练习对定义加以巩固．

　　3．通过教师出示问题，学生思考并相互叙述，最后教师加以点拨的方法完成第一个性质的逻辑推理，其他性质由教师出示问题，学生模仿完成，最后学生做反馈练习．

　　4．通过教师提问、学生回答完成图表的方法进行本节课的小结．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　正确理解互余、互补的定义并掌握其性质，并能运用进行简单的计算和推理．

　　（二）整体感知

　　通过教师演示和指导，学生动手动脑参与，顺利地使学生理解和掌握互余、互补的定义和性质，并通过对图形的识别和性质的理解，完成一些简单的计算和推理．

　　（三）教学过程

　　创设情境，引入课题

　　师：上节课，我们学习了度量，认识了平角和直角，请同学们在练习本上画出一个平角和一个直角，并标明其度数．

　　学生画图形的同时，投影显示以下图形，见图1及图2：

 

图1　　　　　　　　　图2

　　教师演示：在以上两个图形的基础上，利用电脑（或投影），分别过两个角的顶点作活动射线 ，任意改变射线位置，让学生观察，如下图1及图2：

　

图1　　　　　　　　　　　　　图2

　　学生活动：过自己所画两个角的顶点，任意作射线 ，同时观察老师演示．

　　提出问题：射线 把平角 ，直角 分别分成了几个角？它们的度数关系如何？

　　（学生容易答出：分成两个角， ， ．）

　　教师演示：把射线 固定一个位置不动，然后把两个图形中的角保持大小不变，拉开，如图1及图2（或拉开更远些，多变换几种位置）．

 　　

图1　　　　　　　　　　　　图2

　　提出问题： 与 的和还是 吗？ 与 的和还是 吗？

　　学生活动：观察教师演示过程中的图形变换，同桌可相互讨论，回答教师提出的问题．

　　【教法说明】 与 ， 与 位置变换，前提是其大小不变．改变位置关系目的是：避免提出互补、互余角的概念后，学生误认为只有有公共顶点且和为 ， 的两个角才是互补、互余的角．

　　根据学生回答，教师肯定结论：

　　不论 、 、 、 的位置关系如何变化，只要大小不变， 与 的和永远是平角， 与 的和永远是直角．像这样具有特殊关系的角，我们分别叫它们互为补角和互为余角．这就是我们要学习的角的度量一节中又一新知识．（板书课题）

　　［板书］1.6  角的度量

　　【教法说明】  注重学生的参与意识，要让学生手脑并动，通过不断演示，学生观察，教师逐步提出问题，让学生养成自己发现问题，并没法解决问题的良好习惯．

　　探究新知

　　1．互为余角、互为补角的定义

　　提出问题：你能根据前面老师的演示和说明，叙述一下具有什么关系的两个角叫互为余角和互为补角吗？

　　学生活动：同桌相互讨论，互相纠正和补充，找学生口述．

　　【教法说明】通过学生亲自动手画图，观察老师的演示，对互余、互补角概念的理解，可以说已经水到渠成．教师不必包办代替，要让学生自己总结归纳，以训练其归纳总结及口头表达能力．

　　教师根据学生回答，给予肯定后给出答案：

　　［板书］

　　互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫互为余角．其中一个角叫做另一个角的余角．

　　直为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．

　　2．提出问题，理解定义．（投影显示）

　　（1）以上定义中的“互为”是什么意思？

　　（2）若 ，那么 互为补角吗？

　　（3）互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？

　　学生讨论以上三个问题．

　　【教法说明】对定义的理解，提出的三个问题很关键，让学生讨论发表自己的见解，比教师单纯强调“注意”效果要好得多，同时也培养学生全面分析、考虑问题的能力．

　　通过学生回答，教师对以上三个问题给予肯定或否定．

　　反馈练习：投影显示

　　1．若 与 互补，则 ，若 与 互余，

　　2． 角的余角为 ，补角为 ， 的余角为 ．补角为 ．

　　3．如图1： 是直线 上一点， 是 的平分线，

图1

① 的补角是____________

　　② 的余角是____________

　　③ 的补角是____________

　　【教法说明】第l、2两题可由学生抢答，这两题是为以下例3做铺垫的．第1题实质上也是把定义的文字语言转化成几何语言，强调反之也成立．通过第3题要培养学生的识图能力．

　　2．有关互余、互补角的性质

　　师：通过以上练习，我们对互余、互补角的概念有了较深刻的理解，下面我们提出一个新问题，看你们能否解决．

　　投影出示：

　　 例4  与 互补， 与 互补，若 ，那么 和 相等吗？为什么？

　　

　　【教法说明】学生思考并讨论，同桌互相叙述“为什么”讲相互纠正．有时学生间的交流比师生对话效果会更好．

　　找学生试述“为什么”，估计逻辑性不会太强，教师可加以点拨：解决几何问题往往要从已知入手，联想出结论：如由 与 互补你想到什么结论？（ ） 与 互补呢？（ ）．因为要比较的是 与 的大小，以上两式可表示为： ， ．已知中 ，则 一定等于 ．

　　教师边引导学生叙述边板书出较规范的格式：

　　［板书］

　　∵ 与 互补，∴ 即 ．

　　∵ 与 互补，∴ 即 ．

　　∵ ，∴ ．

　　【教法说明】此问题中的“为什么”实际上是几何中的推理问题，要有严密的逻辑性．学生第一次接触，因此，“放”可以，而且必须“收”．教师引导由已知产生联想，一环紧扣一环，写出推理过程，渗透“∵  ∴”的书写格式．

　　提出问题：通过以上题目，你是否发现了两个等角的补角间有怎样的关系？你能试着总结吗？

　　【教法说明】由学生发现性质，并归纳总结，培养学生由具体题日抽象出几何命题的能力和语言表达能力．学会由具体到抽象考虑问题的方法．

　　学生活动：同桌讨论，并互相叙述总结规律．

　　教师对学生回答进行纠正、整理后板书，并给出符号语言，强调此性质的应用．

　　［板书］同角或等角的补角相等．∵ ， ，∴ ．

　　提出问题： 与 互余， 与 互余，若 ，那么 等于 吗？为什么？你由此问题又能得出什么结论？

　　学生活动：教师不给任何提示的情况下，在练习本上仿照例4的格式，写出“为什么”及得出的结论．

　　教师找同学回答后板书．

　　［板书］同角或等角的余角相等．∵ ， ，∴ ．

　　师：有关余角和补角的性质很有用，以后遇到有同角（或等角）的补角就可以根据这个性质，知道它们都相等．

　　反馈练习：投影显示

图1

　　1．见图1，若 与 互余， 与 互余，

　　 则______＝______根据是：________

图2

　　2．见图2，若 与 互补， 与 互补，

　　 则______＝_______根据是：_________

图3

　　3．如图3， 是直线 上的一点， 平分 ， ，则

　　

　　 

　　【教法说明】第1、2两题主要强调互余、互补角性质的应用，设计成活动胶片（或电脑课件）把图中的角多变换几个位置．第2题中当拼成两相交线时为下一步学习对顶角相等做准备．第3题可以找 、 的余角有几个，把题再拓宽些．

　　（四）总结、扩展

　　以提问的形式列出下表

 

互余的角

互补的角

数量关系

对应图形

性质

同角或等角的余角相等

同角或等角的补角相等

　　思考题（投影出示）

　　1．锐角的余角一定是锐角吗？

　　2．一个锐角和一个钝角一定互为补角吗？

　　3．一个角的补角比这个角的余角大多少度？

　　4．相等且互补的两个角各是多少度？

　　5．一个角的补角一定比这个角大吗？

　　【教法说明】小结后由学生看书，让学生提出问题，学生提出以上问题，则发动同学们讨论，没提出以上问题教师再提出，由学生讨论．

　　八、布置作业

　　课本第38页练习第1、2题．

　　作业答案

　　1．较大角是 ，比萨斜塔倾斜了 ．

　　2． 的补角是 ，余角是 ．

　　九、板书设计

　　1.6  角的度量

1．定义

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角．

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角．

2．性质

同角或等角的补角相等．

同角或等角的余角相等．

例3  解：_______________

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　（练习板演）______________

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练习

　解：_______________

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《角的度量》