正弦和余弦

教学建议

　　1．知识结构：本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.

　　2．重点、难点分析

　　（1） 正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.

　　（2） 正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.

　　3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.

　　锐角的正弦、余弦值是这样规定的：当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当 确定时，包含 的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：

　　 ∽ ∽ ∽ ……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.

　　

　　这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin 和cos这样的符号.

　　应当注意：单独写出三角函数的符号 或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如 ），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如 ）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.

　　4． 我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.

　　我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如， 如图所示，若 ，则有

　　有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形， ，作 ， 我们应正确地写出如下的三角函数关系式：

　　

　　

　　很显然，这些表达式提供给我们丰富的边与角间的数量关系.

　　5．特殊角的正弦、余弦值既容易导出，也便于记忆，应当熟悉掌握它们.

　　利用勾股定理，很容易求出含有 或 角的直角三角形三边的比；如图（1）和图（2）所示.

　　根据定义，有

　　

　　另一方面，可以想像，当 时，边 与AC重合（即 ），所以

　　当 时，边AB与CB重合（即AB=CB），AC的长缩小为0，于是，有

　　把以上结果可以集中列出下面的表：

 

0

1

1

0

　　6．教法建议：

　　（1）联系实际，提出问题

　　通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：锐角三角函数作了十分必要的准备．

　　(2) 动手度量、总结规律、给出定义以含 的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律： ，再进一步对含 的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到 ,这时，应当即给出 的正弦的定义及符号，即 ，再对照图形，分别用a、b、c表示 、 、 的对边，得出 及 ， 就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.

　　(3)加强数形结合思想的教学

　　“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力．

第一课时

　　一、教学目标

　　1. 使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。

　　2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。

　　3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

　　二、学法引导

　　1．教学方法：引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。

　　2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。

　　2．难点：学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。

　　3．疑点：无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。

　　4．解决办法：教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。

　　四、教具准备

　　自制投影片，一副三角板

　　五、教学步骤

　　（一）明确目标

　　1．如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则 、 间距离为多少米？

　　2．长5米的梯子以倾斜角 为30°靠在墙上，则 、 间的距离为多少？

　　3．若长5米的梯子以倾斜角40°架在墙上，则 、 间距离为多少？

　　4．若长5米的梯子靠在墙上，使 、 间距离为2米，则倾斜角为多少度？

　　前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。

　　通过四个例子引出课题。

　　（二）整体感知

　　1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°、45°、60°角的对边、邻边与斜边的比值。

　　学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。

　　2．请同学画一个含40°角的直角三角形，并测量、计算40°角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？

　　这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。

　　（三）教学过程（fanwen.oyaya.net）

　　 1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。

　　2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：

　　若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点 ， ， 重合在一起，记作 ，并使直角边 ， ， ……落在同一条直线上，则斜边 ， ， ……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？引导学生独立证明：易知， ……，∴ ∽ ∽ ∽……，∴ ， ，因此，在这些直角三角形中， 的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。

　　通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。

　　而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。

　　3．练习：教科书P3练习。此题为 作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。

　　（四）总结、扩展

　　1．引导学生作知识总结：本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。

　　教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。

　　2．扩展：当锐角为30°时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。

　　六、布置作业

　　本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。

　　七、板书设计

 
第二课时

　　一、教学目标

　　1．使学生初步了解正弦、余弦概念；能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比；熟记特殊角30°、45°、60°角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.

　　2．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.

　　3．渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.

　　二、学法引导

　　1．教学方法：指导发现探索法.

　　2．学生学法：自主、合作、探究式学习.

　　三、重点、难点、疑点及解决方法

　　1．教学重点：使学生了解正弦、余弦概念.

　　2．教学难点：用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念.

　　3．疑点：锐角的正弦、余弦值的范围.

　　4．解决办法：通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.

　　四、教具准备

　　三角板一副

　　五、教学步骤

　　（一）明确目标

　　1．引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”

　　2．明确目标：这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.

　　（二）整体感知

　　当直角三角形有一锐角为30°时，它的对边与斜边的比值为 ，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.

　　而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.

　　通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.

　　（三）教学过程（fanwen.oyaya.net）

　　正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.

　　在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图

　　请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：在 中， 为直角，我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦，记作 ，锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦，记作 .

　　 .

　　若把 的对边 记作 ，邻边 记作 ，斜边 记作 ，则 ， .

　　引导学生思考：当 为锐角时， 、 的值会在什么范围内？得结论 ， （ 为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.

　　教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“ 、 ”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.

　　【例1】求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.

　　

　　解：（1）∵斜边 ，

　　∴ ， ．

　　 ， ．

　　（2） ， ．

　　 ，

　　∴ ， ．

　　学生练习教材P6～7中1、2、3题．

　　让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.

　　 ， ， ．

　　 ， ， ．

　　【例2】求下列各式的值：

　　（1） ；（2） ．

　　解：（1） ．

　　（2） ．

　　这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：

　　（1） ；（2） ；

　　（3） ；（4） ．

　　（5）若 ，则锐角 .

　　（6）若 ，则锐角 .

　　在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下， 大概在什么范围内， 呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.

　　（四）总结、扩展

　　首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即

　　 ，　　 （ 为锐角）．

　　还发现 的两锐角 、 ， ， ，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.

　　六、布置作业

　　教材P10中2，3.

　　预习下一课内容.

　　补充：（1）若 ，则锐角 ．

　　（2）若 ，则锐角 ．

　　七、板书设计

　　

《正弦和余弦》