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集合



1.理解集合的概念;2.掌握集合的两种表示方法;3.会正确使用符号这三个学习目标即可   1.集合 点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念,集合则是集合论中原始的、不加定义的概念.一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.一般用大括号表示集合,例如“汽车,飞机,轮船”等交通运输工具组成的集合可以写成{汽车、飞机、轮船}为了方便.我们还通常用大写的拉丁字母A、B、C……表示集合,例如A={a,b,c}. 2.集合中的元素 集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如“中国的直辖市”这一集合的元素是:北京、上海、天津、重庆. 集合中的元素常用小写的拉丁字母a,b,c,…表示. 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A; 如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a A. 3.集合中元素的特性 (1)确定性  对于集合A和某一对象x,有一个明确的判断标准是x∈A,还是x A,二者必成其一,不会模棱两可. 例如,“著名的数学家”,“漂亮的人”这类对象,一般不能构成数学意义上的集合,因为找不到用以判别每一具体对象是否属于集合的明确标准. (2)互异性.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的;因此,集合中的相同元素只能算作一个,如方程x2-2x+1=0的两个等根,x1=x2=1,用集合记为{1},而不写为{1,1},如果把集合{1,2,3},{2,3,4}的元素合并起来构成一个新集合,那么新集合只有1,2,3,4这四个元素. (3)无序性  集合中的元素是不排序的,如集合{1,2}与{2,1}是同一个集合,但实际上在书写时还是按一定顺序书写的,如{-1,0,1,2}而不写成{0,1,-1,2},这样写不方便,其更深刻的含义是揭示了集合元素的“平等地位”. 4.集合表示法 (1)列举法  将集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内. (2)描述法  用描述表示的集合,对其元素的属性要准确理解.例如,集合{y|y=x2}表示函数y值的全体,即{y|y≥0};集合{x|y=x2}表示自变量x的值的全体,即{x|x为任一实数};集合{x,y|y=x2}表示抛物线y=x2上的点的全体,是点集(一条抛物线);而集合{y=x2}则是用列举法表示的单元素集,也就是只有一个元素(方程y=x2)的有限集. (3)图示法  为了形象地表示集合,我们常常画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合,例如,如图可表示集合{1,2,3,4} 5.特定集合表示法 自然数集(或非负整数集),记作N,自然数集内排除0的集,也称正整数集,记作N*或N+(注意,自然数集包括0); 整数集,记作Z; 有理数集,记作Q; 实数集,记作R; Z,Q,R等数集内排除0的集,分别表示为Z*(或Z+),Q*(或Q+),R*(或R+). 6.集合的分类 ①有限集:含有限个元素的集合叫做有限集.例如:A={1,2,3,4} ②无限集:含有无限多个元素的集合叫做无限集.例如:集合N+ ③空集:不含任何元素的集合称为空集.例如:集合方程x2+2x+3=0在实数范围内的解集. 例1  下列各组对象能否构成一个集合?指出其中的集合是无限集还是有限集?并用适当的方法表示出来. (1)直角坐标平面内横坐标与纵坐标互为相反数的点; (2)高一数学课本中所有的难题; (3)方程x4+x2+2=0的实数根; (4)图甲中阴影部分的点(含边界上的点). 图甲                        图乙  解:(1)是无限集合.其中元素是点,这些点要满足横坐标和纵坐标互为相反数. 可用两种方法表示这个集合: 描述法:{(x,y)|y=?x|}; 图示法:如图乙中直线l上的点. (2)不是集合.难题的概念是模糊的不确定的,实际上一道数学题是“难者不会,会者不难”.因而这些难题不能构成集合. (3)是空集.其中元素是实数,这些实数应是方程x4+x2+2=0的根,这个方程没有实数根,它的解集是空集.可用描述法表示为: 或者{x∈R|x4+x2+2=0}. (4)是无限集合.其中元素是点,这些点必须落在图甲的阴影部分(包括边界上的点). 图甲本身也可看成图示法表示,我们还可用描述表示这个集合; {(x,y)|-1≤x≤2,- ≤y≤2,且xy≤0} 例2  下面六种表示法: (1){x=-1,y=2},(2){(x,y)|x=-1,y=2},(3){-1,2},(4)(-1,2),(5){(-1,2)},(6){(x,y)|x=-1或y=2},能正确表示方程组 的解集的是: A. (1)(2)(3)(4)(5)(6)               B.(1)(2)(4)(5) C.(2)(5)                            D.(2)(5)(6) 分析  由于此方程组的解是 因而写成集合时,应表示成一对有序实数(-1,2). 解:因为{(x,y)| ={(x,y)| ={(-1,2)}故选C. 评析  集合(1)既非列举法,又非描述法.集合(3)表示由-1和2两个数组成的集合.(4)是一个点.(6)中的元素是(-1,y)或(x,2),x,y∈R是一个无限集.以上均不合题意. 例3  用符号∈或 填空. (1)3.14       Q,0       N,         Z,(-1)0        N,0       (2)2       {x|x< =,3        {x|x>4}, +       {x|x≤2+ }; (3)3        {x|x=n2+1,n∈N},5       {x|x=n2+1,n∈N}; (4)(-1,1)       {y|y=x2},(-1,1)      {(x,y)|y=x2} 解:(1)∈、∈、 、∈、 (空集?不含任何元素); (2)2 = > ,3 = > =4, + = = < = =2+ ,故填 、∈、∈; (3)令n2+1=3,n=±   n N.令n2+1=5,   n=±2,2∈N,故填 、∈; (4) ,∈.(因为{y|y=x2}中元素是数而(-1,1)代表一个点) 例4   用另一种形式表示下列集合 (1){绝对值不大于3的整数} (2){所有被3整除的数} (3){x|x=|x|,x∈Z且x<5} (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z} (5){(x,y)}|x+y=6,x∈N+,y∈N+} 解:(1)绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈Z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,,2,3}; (2){x|x=3n,n∈Z};(说明:{被3除余1的整数}可表示为{x|x=3n+1,n∈Z}); (3)∵x=|x|,∴x≥0,又∵x∈Z且x<5,∴{x|x=|x|,x∈Z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4} (4){-2}(注意x∈Z}) (5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} 例5。用另一种形式表示下面的集合:{x|(2x-1)(x+2)(x2+1)=0,x∈Z}. 错误解答  集合的元素x是由方程(2x-1)(x+2)(x2+1)=0的根组成的,解方程,得x= ,x=-2,x= ∴  原集合可以表示为{ ,-2, } 错误存在于解方程的过程和最后的集合表示当中,解方程时应注意到x2+1≠0,x∈R,所以,方程的根为x= ,x=-2.注意到已知条件x∈z R,才不致造成错误. 因为 Z  所以, 正确答案应为{-2}或写作{x|x=-2}. 例6  已知A={x|x=a+b ,a,b∈Z},分析判断下列元素x与集合A之间的关系: (1)x=0,(2)x= ,(3)x= . 分析  x与A的关系只有x∈A和x A两种.判断x是不是A中的元素,即观察x能否写成a+b (a,b∈Z)的形式. 解:(1)因为0=0+0× ,所以0∈A. (2)因为x= = - ,无论a、b为何整数,a+b = - 不能成立,所以x= A. (3)因为x= = =1+2 , 所以 ∈A. 评析  研究元素与集合的关系,一要注意集合的表示方法(列举法或描述法),二要准确判断元素的属性. 例7  已知集合A={p|x2+2(p-1)x+1=0,x∈R},求一次函数y=2x-1,x∈A的取值范围. 分析  关键是理解集合A中元素的属性.p的取值范围必须满足关于x的一元二次方程x2+2(p-1)x+1=0有实数根. 解:由已知,Δ=4(p-1)2-4≥0.得p≥2或p≤0.所以A={p|p≥2或p≤0}.因为x∈A,所以x≥2或x≤0,所以2x-1≥3或2x-1≤-1,所以y的取值范围是{y|y≤-1或y≥3}.


《集合》
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