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有理数的乘方


一、素质教育目标

  (一)知识教学

  1.理解有理数乘方的意义.

  2.掌握有理数乘方的运算.

  (二)能力训练点

  1.培养学生观察、分析、比较、归纳、概括的能力.

  2.渗透转化思想.

  (三)德育渗透点:培养学生勤思、认真和勇于探索的精神.

  (四)美育渗透点

  把记成,显示了乘方符号的简洁美.

  二、学法引导

  1.教学方法:引导探索法,尝试指导,充分体现学生主体地位.

  2.学生学法:探索的性质→练习巩固

  三、重点、难点、疑点及解决办法

  1.重点:有理数的乘方运算.

  2.难点:有理数的乘方运算的符号法则.

  3.疑点:①乘方和幂的区别.

  ②与的区别.

  四、课时安排

  1课时

  五、教具学具准备

  投影仪、自制胶片.

  六、师生互动活动设计

  教师引导类比,学生讨论归纳乘方的概念,教师出示探索性练习,学生讨论归纳乘方的性质,教师出示巩固性练习,学生多种形式完成.

  七、教学步骤

  (一)创设情境,导入新课

  师:在小学我们已经学过:记作,读作的平方(或的二次方);记作,读作的立方(或的三次方);那么可以记作什么?读作什么?

  生:可以记作,读作的四次方.

  师:呢?

  生:可以记作,读作的五次方.

  师:(为正整数)呢?

  生:可以记作,读作的次方.

  师:很好!把个相乘,记作,既简单又明确.

  【教法说明】教师给学生创设问题情境,鼓励学生积极参与,大大调动了学生学习的积极性.同时,使学生认识到数学的发展是不断进行推广的,是由计算正方形的面积得到的,是由计算正方体和体积得到的,而,……是学生通过类推得到的.

  师:在小学对底数,我们只能取正数.进入中学以后我们学习了有理数,那么还可取哪些数呢?请举例说明.

  生:还可取负数和零.例如:0×0×0记,(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作.

  非常好!对于中的,不仅可以取正数,还可以取0和负数,也就是说可以取任意有理数,这就是我们今天研究的课题:有理数的乘方(板书).


  【教法说明】对于的范围,是在教师的引导下,学生积极动脑参与,并且根据初一学生的认知水平,分层逐步说明可以取正数,可以取零,可以取负数,最后总结出可以取任意有理数.

  (二)探索新知,讲授新课

  1.求个相同因数的积的运算,叫做乘方.

  乘方的结果叫做幂,相同的因数叫做底数,相同的因数的个数叫做指数.一般地,在中,取任意有理数,取正整数.

  注意:乘方是一种运算,幂是乘方运算的结果.看作是的次方的结果时,也可读作的次幂.

  巩固练习(出示投影1)

  (1)在中,底数是__________,指数是___________,读作__________或读作___________;

  (2)在中,-2是__________,4是__________,读作__________或读作__________;

  (3)在中,底数是_________,指数是__________,读作__________;

  (4)5,底数是___________,指数是_____________.

  【教法说明】此组练习是巩固乘方的有关概念,及时反馈学生掌握情况.(2)、(3)小题的区别表示底数是-2,指数是4的幂;而表示底数是2,指数是4的幂的相反数.为后面的计算做铺垫.通过第(4)小题指出一个数可以看作这个数本身的一次方,如5就是,指数1通常省略不写.

  师:到目前为止,对有理数业说,我们已经学过几种运算?分别是什么?其运算结果叫什么?

  学生活动:同学们思考,前后桌同学互相讨论交流,然后举手回答.

  生:到目前为止,已经学习过五种运算,它们是:

  运算:加、减、乘、除、乘方;

  运算结果:和、差、积、商、幂;

  教师对学生的回答给予评价并鼓励.

  【教法说明】注重学生在认知过程中的思维.主动参与,通过学生讨论、归纳得出的知识,比教师的单独讲解要记得牢,同时也培养学生归纳、总结的能力.

  师:我们知道,乘方和加、减、乘、除一样,也是一种运算,如何进行乘方运算?请举例说明.

  学生活动:学生积极思考,同桌相互讨论,并在练习本上举例.

  【教法说明】通过学生积极动脑,主动参与,得出可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算.向学生渗透转化的思想.

  2.练习:(出示投影2)

  计算:1.(1)2, (2), (3), (4).
  2.(1),,,.
  (2)-2,,.
  3.(1)0, (2), (3), (4).

  学生活动:学生独立完成解题过程,请三个学生板演,教师巡回指导,待学生完成后,师生共同评价对错,并予以鼓励.

  师:请同学们观察、分析、比较这三组题中,每组题中底数、指数和幂之间有什么联系?

  先让学生独立思考,教师边巡视边做适当提示.然后让学生讨论,老师加入某一小组.

  生:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数,零的任何次幂都是零.

  师:请同学们继续观察与,与中,底数、指数和幂之间有何联系?你能得出什么结论呢?


  学生活动:学生积极思考,同桌之间、前后桌之间互相讨论.

  生:互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数,偶次幂相等.

  师:请同学思考一个问题,任何一个数的偶次幂是什么数?

  生:任何一个数的偶次幂是非负数.

  师:你能把上述结论用数学符号表示吗?

  生:(1)当时,(为正整数);

  (2)当

  (3)当时,(为正整数);

  (4)(为正整数);

  (为正整数);

  (为正整数,为有理数).

  【教法说明】教师把重点放在教学情境的设计上,通过学生自己探索,获取知识.教师要始终给学生创造发挥的机会,注重学生参与.学生通过特殊问题归纳出一般性的结论,既训练学生归纳总结的能力和口头表达的能力,又能使学生对法则记得牢,领会的深刻.


  再做一组练习(出示投影3)

  计算:(1),,;

  (2),,;

  (3),,.

  学生活动:学生在练习本上独立完成后,同桌交换,互相纠正.然后,教师引导学生纵向观察(1)题和(2)题的形式和计算结果有什么区别?中底数是-3,而题中,底数是3.因此,.可见,以负数作为底数时,这个负数必加括号,而不加括号的底数一定不是负数.

  师:哪位同学能用乘方的一般式说明这个问题呢?

  生:的底数是,表示个相乘,是的相反数,这就是与的区别.

  师:引导学生观察(3)题,与两者从意义上截然不同:

  ,而.因此,要特别注意:当底数是分数时,这个分数一定要加括号,不加括号的底数不是分数.计算带分数的乘方一般应化为假分数.


  【教法说明】同桌之间相互纠正,有时比师生之间的纠正效果会更好.通过学生实际计算、纠错,让他们自己体会到负数与分数的乘方要加括号.这样,学生自己获得的知识和方法,理解得更深刻,并能灵活运用.

  (三)变式训练,培养能力

  (出示投影4)

  计算:

  (1),,,,;

  (2),,,;

  (3),,,.

  【教法说明】练习题的设计分层次,既注重基础知识,又注重了能力的培养,组织课内练习,获取学生掌握知识的反馈信息,对于学生存在的问题及时回授.

  (四)课堂小结

  师:今天我们一起学习了有理数的乘方.有理数的乘方运算可以利用有理数的乘法运算来进行.乘方与乘法有联系也有区别:联系是乘方本质是乘法,区别是乘方中积的因数要相同.为了更好地理解这一点,我们看下面的对比:

  (出示投影5)

  作乘法运算看   作乘方运算看

  2×2×2=8    

  因数是2     底数是2

  因数的个数为3  指数是3

  积是8      幂是8

  【教法说明】小结揭示出乘方与乘法这两个知识点的联系,并找出它们之间的共同点和不同点,使学生将乘方知识与头脑中乘法的认识结构建立联系,从而形成新的知识体系.

  (五)思考题

  (出示投影6)

  1.3的平方是多少?-3的平方是多少?平方得9的数有几个?有没有平方得-9的有理数?

  2.已知,则.

  3.计算.

  【教法说明】这组题目是让学有余力的学生应有所追求,进一步激发学生探索的热情,有利于发展他们的数学才能.2题是非负数和有理数乘方两知识点的综合应用,有助于培养学生分析问题和解决问题的能力.3题向学生渗透分类讨论的思想.

  八、随堂练习

  1.判断题

  (1)中底数是,指数是2( )

  (2)一个有理数的平方总是大于0的( )

  (3)( )

  (4)( )

  (5)( )

  (6)若,则( )

  (7)当时,( )

  (8)平方等于本身的数是0和1( )

  2.填空题

  (1)的意义是__________________,结果为________________;

  (2)的意义是__________________,结果为________________;

  (3)若且,则;

  (4)若,则,,;

  (5)平方小于10的整数有__________个,其和为___________,积为___________.

  九、布置作业

  课本第113页4、5.

  十、板书设计

  



《有理数的乘方》
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