《函数性质的运用》案例分析

一、相关背景介绍 建构主义理论告诉我们，学习是学生在原有认知经验基础上主动建构新知识的过程。这一建构过程实际上需要学生将原有知识与新知识（包括思想、观点、方法）进行有效组合与沟通。而学生知识、方法的迁移，水平、能力的提高均依赖于这个过程。从这个意义上说，数学学习实际上是指学生对数学现象的领悟和实质理解。抽象函数这部分内容，体现了数学的高度抽象性和简洁性，近几年高考几乎每年都有类似的题目。由于它的提干都是由抽象的数学符号给出，因此它对学生阅读理解数学语言和符号的能力要求很高。对学生的思维能力是一个大的挑战。 二、本节课教学目标 1 、知识与技能 ① 使学生深刻理解函数的奇偶性、周期性、对称性等性质。掌握代数变换的方法。 ② 学会阅读理解数学语言和符号，会综合运用函数性质解题。 2 、过程与方法 通过让学生经历阅读、理解、探索求解的过程，渗透化归转化的思想、数形结合的思想。寻求合理、有效的途径，解决数学问题。 3 、情感、态度、价值观 使学生领会数学的抽象性和严谨性，培养他们实事求是的科学态度，积极参与和勇于探索的精神。 4 、重点：综合运用函数性质解题 难点：对文字语言、符号语言、图形语言三种语言的理解和相互转换。 三、设计理念 1 、首先通过复习函数的性质导入，训练学生对数学的文字语言、符号语言和图形语言这三种语言的相互转换 2 、例 1 的设计的意图是： 加深学生对函数概念、性质的理解。教学生学会阅读、理解数学语言、符号；学会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化。通过一题多解、一题多思，渗透化归转化和数形结合的思想，以及代数变换的方法，培养他们的思维能力。课堂形式是：分组讨论。 3 、例 2 的设计主要让学生独立思考解答 探求多种解法，思考、交流、表达，体现学生主体参与合作学习。 要求学生综合运用函数性质解题，提高他们抽象思维能力，问题延伸思考，主要针对较好学生，让他们课后继续钻研，提高分析问题、解决问题能力，也体现了分层教学的思想。 四、下面是课堂实录《函数性质的运用》 师：前面我们已经分别复习了函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性等。今天我们学习函数性质的综合运用。请先思考回答以下问题： ① 若函数 f （ x ）是奇函数，如何用符号表示？用图形表示？ ② 若给出图形 请用文字语言叙述它的对称性，用符号如何表示？ ③ 若 f （ x+2 ） =f （ x ），你能有何结论？如何用文字语言叙述，用符号表示？ 生 1 ： ① f （ -x ） =-f （ x ） 生 2 ： ② 函数 f （ x ）关于 x=1 对称，即 f （ 1+x ） =f （ 1-x ） 生 3 ： ③ f （ x ）是周期函数，周期为 T=2 ，示意图： 师：由 f （ x+2 ） =-f （ x ）你能说出什么信息？ 生： f （ x ）的周期是 T=4 师：为什么？能否用图象解释？ 生：将式中的 x 用 x+2 来替代，得到： f （ x+4 ） =-f （ x+2 ） 又因为 -f （ x+2 ） =f （ x ），所以 f （ x+4 ） =f （ x ）即： T=4 但是不太用图像来解释 师：提示： 从图示看出 f （ x+4 ） =f （ x ）的周期为 4 。 总结：通过对函数的奇偶性、对称性、周期性等性质的复习，我们要熟悉数学的文字语言，符号语言，图形语言三种语言的转换。 好，下面我们来看例 1 例 1 ：设 f （ x ）是（ -∞ ， +∞ ）上的奇函数， f （ x+2 ） =-f （ x ），当 0≤x≤1 时， f （ x ） =x ，则 f （ 7.5 ） =? 生 1 ：利用周期性 由 f （ x+2 ） =-f （ x ）可得到 f （ x+4 ） =f （ x ） 所以 f （ 7.5 ） =f(8-0.5)=f(-0.5)=-0.5 生 2 ：直接利用 f （ x+2 ） =-f （ x ） f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f[-f(3.5)]=f(3.5)=-f(1.5)=f(-0.5)=-0.5 师：还有其他方法吗？ f （ x ）是奇函数且 f （ x+2 ） =-f （ x ），除了能说出周期 T=4 外，还能说出哪些信息？（师提示） 生： f （ x+2 ） =-f （ x ） =f （ -x ） 而 f （ x+2 ） =f （ -x ）得到 f （ x ）关于直线 x=1 对称 师：很好，你能否根据函数的对称性、周期性及奇偶性，画出它的图象？从而利用图象来解题呢？ 生： 从图中可以看出 f （ 7.5 ） =f(-0.5)=-0.5 师：我们在解题的过程中，应善于利用数形结合的思想方法，有时能收到意想不到的效果的。 师总结：方法一：主要要求对符号的深刻理解及获取信息 方法二：利用 f （ x+2 ） =-f （ x ），通过转化达到解题的目的，渗透了转化的思想 方法三：利用函数的几何性质，通过作图，利用数形结合的思想来解题。 下面我们来将这道题目进行变化： 变化 1 ：已知条件不变，问题变为当 x ∈ [-1 ， 0] 时，求 f （ x ）的解析式 生 1 ：设 x ∈ [-1 ， 0] 则 -x ∈ [0 ， 1] ∴ f （ -x ） =-x ，又 ∵ f （ -x ） =-f （ x ） ∴ f （ x ） =x ∴ 当 x ∈ [-1 ， 0] 时， f （ x ） =x 师：能否总结一下解题步骤？ 生 2 ：小结：首先要 “ 问啥设啥 ” ，不要把变量设错了区间； 第二，把变量转化到已知区间上去 最后，再利用函数的奇偶性、周期性求出 f （ x ）的解析式。 变化 2 ：当 -1≤x≤1 时， f （ x ）的解析式 生：由已知和变化 1 可知当 -1≤x≤1 时， f （ x ） =x 变化 3 ：当 x ∈ [3 ， 5] 时，求 f （ x ）的解析式 生：设 x ∈ [3 ， 5] ，则 x-4 ∈ [-1 ， 1] ∴ f （ x-4 ） =x-4 ∵ T=4 ∴ f （ x ） =x-4 变化 4 ：当 x ∈ [1 ， 3] 时，求 f （ x ）的解析式 生：设 x ∈ [1 ， 3] ，则 x-2 ∈ [-1 ， 1] ∴ f （ x-2 ） =x-2 ∵ T=4 ∴ f （ x-2 ） =f （ x+4-2 ） =f （ x+2 ） =-f （ x ） ∴ -f （ x ） =x-2 ∴ f （ x ） =2-x 师：小结：上面这四个变化训练要求我们要掌握代数变换这种数学方法，体会化归转化的思想在解题过程中的运用。 例 2 ：定义在（ -∞ ， +∞ ）上的偶函数 y=f （ x ）满足关系 f （ x+2 ） =-f （ x ）且 f （ x ）在区间 [-2 ， 0] 上是增函数，那么以下结论正确的有 ① y=f （ x ）是周期函数 ② y=f （ x ）的图象关于直线 x=2 对称 ③ y=f （ x ）在区间 [2 ， 4] 上是减函数 ④ f （ ） =f （ ） 生 1 ： ① f （ x ）是周期函数， T=4 师： ② 分析：要证明直线 x=2 是 y=f （ x ）图象的对称轴，只需要证明什么关系式成立？ 生：只需证 f （ 2-x ） =f （ 2+x ） 或证 f （ -x ） =f （ 4+x ） 或证 f （ x ） =f （ 4-x ） 师：那我们选择证第三个等式 f （ x ） =f （ 4-x ）成立 生： ∵ f （ x ）的周期 T=4 ，且 f （ x ）是偶函数 ∴ f （ 4-x ） =f （ -x ） =f （ x ）即 f （ x ） =f （ 4-x ） ∴ y=f （ x ）图象的对称轴 x=2 ③ ：生 1 ：有已知在区间 [-2 ， 0] 上， y=f （ x ）是增函数，由于 y=f （ x ）是偶函数，其图象关于 y 轴对称，那么在 [0 ， 2] 上 y=f （ x ）是减函数，又由于 y=f （ x ）图象关于直线 x=2 对称，所以 y=f （ x ）在区间 [2 ， 4] 上是增函数 所以结论错误 生 2 ：也可以借助于图象（示意图）证明 ③ 是错误的 ④ ：生 3 ：由于 f （ x ）在区间 [0 ， 2] 上是递减的 ∴ f （ ） >f （ ） ∴ 结论错误 师：请同学们课后对问题进行延伸思考： 通过以上两个例题，我们发现这样一个结论： 如果 f （ x ）具备奇偶性，同时 f （ x ）的图象还关于某条直线对称，则 f （ x ）是周期函数，你认为这个结论成立吗？请证明。 课堂总结：（师生共同完成） 要求对函数性质有深刻的理解及三种数学语言的理解转化 掌握代表变换的方法，体会数形结合、化归思想在解题过程中的应用 进一步培养学生的抽象思维能力 课堂检测： 已知定义在 R 上的周期函数 y=f （ x ），周期 T=4 ，若 y=f （ x ）的图象关于直线 x=2 成轴对称图形 求证： y=f （ x ）是偶函数 五、课后反思 这节课的教学环节，设计比较合理。特别是课前的复习导入，加强学生对数学的文字语言、符号语言、图形语言三种语言理解和相互转换，为突破本节课的难点做了有益的铺垫。 例 1 的三种解法和四种变化，从不同的角度和方面加深了学生对函数有关概念性质的理解，对数学语言阅读能力的培养，同时对提高他们的抽象思维能力是极有好处的 学生课堂上的反映热烈，积极参与，回答问题踊跃。特别是一些平时成绩偏下的学生也积极发言，很想表现自己，渴望得到来势和同学的认可。看来，如果平时也经常关注这部分学生，多给他们成功的机会，调动他们参与课堂的积极性，那么他们一定回愿意学，乐于学，学好的 从课堂小测反馈的情况看，有少数学生对这部分内容的掌握还有困难，不会阅读，理解数学符号，因此运用起来感到比较困难，无从下手解题，因此对这部分学生还得加强课后的辅导督促其落实 课堂上程序基本上是老师设计安排好的，没有让学生发现问题、提出问题，从而解决问题，这对培养学生的创新意识和能力是有碍的，这也是本人感到困惑的地方，在高三的复习时间紧迫的情况下，在课堂上，如何既让学生有一定的时间体会探索，发散思维，甚至充分暴露思维的错误，又能按时完成课时进度，落实各个知识点，不影响应试考试的成绩。这实在是太难了啊！
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