正方形

课题： §4.6  正方形（一）

教学目的： 使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识”

教学重点： 正方形的定义．

教学难点： 正方形与矩形、菱形间的关系．

教学方法：双边合作  如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考：

（1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？

（2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？

（3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？

（4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？

（5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？

教学过程：

让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片．

问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？

    所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？

    所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？

由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（一）新课

由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

请同学们推断出正方形具有哪些性质？

性质１、（１）正方形的四个角都是直角。

（２）正方形的四条边相等。

性质２、（１）正方形的两条对角线相等。

（２）正方形的两条对角线互相垂直平分。

（３）正方形的每条对角线平分一组对角。

例1  求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O．

求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO

（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

    ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

问：如何判定一个四边形是正方形呢？

正方形的判定方法：

1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；

2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．

例2             已知：如图，点A′、B′、C′、D′分

别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′．

求证：四边形A′B′C′D′是正方形．

分析：根据正方形的四条边相等，四个角都是直角及已知条件，可以得到四个全等的直角三角形，它们的斜边都相等，从而判定四边形A′B′C′D′是菱形，再利用直角三角形两锐角互余证明菱形是矩形．

证明：（略）

（二）练习

1.已知正方形的边长为2cm，求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积．

2.正方形的对角线和它的边所成的角是多少度？为什么？

3.如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形，为什么？

4.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形，为什么？

三  小结

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形而且正方形还是特殊的矩形、特殊的菱形，它们的包含关系如图：

四  作业

1.已知正方形的一条对角线长4cm，求它的边长和面积．

2.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

3.求证：正方形对边中点的连线将正方形分成四个小正方形．

4.求证：矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形．