数学教案－坐标轴的平移

坐标轴的平移

一、教材分析

　　1、坐标变换是化简曲线方程，以便于讨论曲线的性质和画出曲线的一种重要方法。这一节教材主要讲坐标轴的平移，要求学生在正确理解新旧坐标之间的关系的基础上掌握平移公式;并能利用平移公式对新旧坐标系中点的坐标和曲线的方程进行互化。这就是本节课的教学目的之一。

　　2、本教材的重点是平移公式的推导及其简单应用。为了解决重点，教学中先以圆(x-3)²+(y-2)²=5²化为x²+y²=5²这个例子引入来说明，虽然点的位置没有改变曲线的位置、形状和大小没有改变，但是由于坐标系的改变，点的坐标和曲线的方程也随着改变，而且适当地变换坐标系，曲线的方程就可以化简，以此指明平移坐标轴的意义和作用，并由此引出平移的定义，导出平移公式。在推导平移公式时，先从特殊到一般，通过观察、归纳、猜想和推导，得出平移公式，还引导学生运用代数中刚学过的复数的几何意义来证明，既开阔视野，沟通学科知识，又培养学生的思维能力，同时还可通过一组练习，让学生正用、逆用、变用平移公式，达到进一步加深理解、熟练掌握公式的目的，进而培养学生的发现、推理能力和教学思想方法。

　　3、本节教材的难点是平移公式两种形式何时运用，学生易产生混淆，教学中应通过实例让学生自己领会，并及时加以小结，掌握其规律，加强公式的记忆并培养灵活运用知识的能力。

　　4、本节寓德于教的要点，主要是通过事物变化过程的内在联系，认识变与不变的矛盾对立统一规律，对学生进行辩证唯物主义的教育。

　　二、教学过程（fanwen.oyaya.net）

　　(一)提出问题

　　 教师先在黑板上画出图形，让学生观察、思考并提问以下问题:

　　 1、如图，点O和○O关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?点O和○O关于坐标系xoy的坐标和方程各是什么?两个方程，那一个较为简单?

　　 (学生回答，教师在黑板上板书:)

　　 直角坐标系 点O的坐标 ○O的方程

　　<在xoy中 (3，2); (x-3)²+(y-2)²=5²

　　在xoy中 (0，0) x²+y²=5²

　　 两个方程，显然后一个方程简单。

　　(二)引入新课

　　 (继续提问)

　　1、从上面的例子可以看出什么?

　　(答) (1)对于同一点或同一曲线，由于选取的坐标系不同，点的坐标功曲线的方程也不同。

　　(2)把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系，可以使曲线的方程简化，便于研究曲线的性质。

　　教师继续提出新的话题，即如何把一个坐标系变换为另一个适当的坐标系呢?我们再从上面的例子来观察坐标系

　　 xoy与xoy有何异同点呢?(提问)

　　(答)(1)坐标轴的方向和长度单位都相同——不变

　　(2)坐标系的原点的位置不同——变

　　(教师归纳) 这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

　　(让学生打开课本阅读移轴的定义，教师在黑板上板书)

　　(板书) 坐标轴的平移

　　(三)讲授新课

　　 (板书)1、坐标轴平移的定义

　　2、坐标轴平移公式

　　思路:(1)以特殊到一般，在已画出的图形上任取四个点(分别在第一、二、三、四系限或坐标轴上)让学生分别写出在新、旧坐标系里的坐标，并观察、分析出它们的关系。

　　(答) 坐标平面上任意一点在原坐标系中坐标和在新坐标系中的坐档，归纳出来有如下关系:

　　(板书) 原系横坐标x=新系横坐标 x+3

　　原系纵坐标y=新系纵坐标y+2

　　现在把(3，2)推广到一般(h，k)能否得出 x=x+h

　　y=y+k

　　这个公式呢?(让学生自己动手证明)

　　思路(2)第一步用有向线段的数量表示x，y，h，k，x，和y，

　　第二步据图进行推导

　　第三步由推出的公式 x=x+h (1)再推出 x=x-h

　　y=y+k y=y-h

　　小结:这两个公式都叫做平移(移轴)公式。同学们还可以运用代数中学过的向量加、减法则，建立复平面来证明(留给学生课后自己作练习)

　　3、平移公式的应用

　　(1)利用平移公式求在新坐标内点的新坐标

　　例与练:①平移坐标轴，把原点平移到O(-4，3)，求A(0，0)， B(4，-5)的新坐标;C(5，-7) ， D(4，-6)的旧坐标。

　　②平移坐标轴，把原点平移到O( )使A(2，4)的新坐标为(3，2); B(-4，0)的旧坐标为(0，3)

　　(2)利用平移公式化简方程

　　例与练:(课本例)平移坐轴，把原点移到O(2，-1)，求下列曲线关于新坐标系的方程，并画出新旧坐标轴和曲线。

　　(x-2)

　　① x=2 ②y=-1 ③ （x+2)² /9+(y+1)²/4=1

　　分析:解①②时 用分别把x=2，y=-1代入公式

　　(2) 得x=0 y=0(比课本中的解法简单)而在解③时，却要用公式(1)分别用x=+2，y=y-1代入原方程得出新方程x/9+y/4=1 (引导学生正确作出图)

　　小结: 从例中可以看出，要把方程(x-2)²/9+ (y+1)²/4

　　化为简单的方程x²/9+y²/4 =1 ，可把 x-2=x y+1=y，得出应

　　把坐标原点平移到(2，-1)，由此可推广，形如(x-h)²/a²+(y-k)²/b²的方程如何化简。

　　选择题1.坐标轴平移后，下列各数值中发生变化的是( )

　　(A)某两点的距离 (B)某线权中点的坐标

　　(C)某两条直线的夹角 (D)某三角形的面积

　　答案选(C) 从此题可看出，坐标轴平移后，与坐标有关的量发生变化，但图形本身的几何性质不变。

　　选择题2:曲线x²+y²+2x-4y+1=0在新坐标系中的方程是x²+y²=4，则新坐标系原点在旧坐标系中的坐标是( )

　　(A) (-1，2) (B) (1，-2) (C)2，-1) (D) (-2，1)

　　分析:把x²+y²+2x-4y+1=0配方为(x+1)²+(y-2)²=4

　　由x+1=x===h=-1 y-2=y===k=2 故应选(A) 　　

　　(四)教师小结:今天讲的主要内容是坐标轴平移的意义，平移公式及其简单应用。移轴的目的在几何上是使曲线图形的中心(或顶点)与原点重合，使图形“居中”，而在代数上则是将一般二元二次方程通过代数变形(变量代换)，消去其中的一次项，从而使方程简化，这个问题，下一节课将作更具体深入的研究与探讨。

　　平移公式的两种形式何时应用较好方便，一般说来，由点的旧坐标求其新坐标时用(2)较方便，而由曲线的原方程求其新方程时用(1)较方便，但这也不是固定不变的，如例2中把方程x=2化为新方程，直接代入(2)，马上就可求出x=0这个新方程。

　　平移坐标轴，可以简化曲线的方程，但不含改变曲线原来的性质与不变，可以看出其中的辩证关系和内在规律。

　　(五)布置作业(略) 　　

　　三、课后附记

　　1、本节课曾在福州市教育学院组织的青年教师培训班的观摩课上讲授，反映较好，从学生的作业反馈及下节课的复习提问，利用坐标轴的平移化简二元二次方程中，引用平移公式进行运算，学生都能较熟练掌握，在半期考中，关于平移公式的应用题得分率在90%以上，说明本节课的效果较好，但因本教材在整个圆锥曲线教材内容中占的分量不重，公式较少使用，容易出现反生与遗忘，因此在平时教学中可适时加以引用。

　　2、本节课的设计遵照“一体三重五环节”的福八中数学教学的特色，重视发挥学生的主体与教师的主导作用，重视“过程”的教学，尽量做到:提出问题，循循诱导;疏通思路，耐心开导;解题练习，精心指导;存在不足，热情辅导;掌握过程，尽心引导;真正体现重情善导的教风与特色。

说课，作为一种教学、教研改革的手段，最早是由河南省新乡市红旗区教室于1987年提出来的。实践证明，说课活动有效地调动了教师投身教学 改革，学习教育理论，钻研课堂教学的积极性。是提高教师素质，培养造 就研究型，学者型青年教师的最好途径之一。

　　我市的说课活动是1994年开始的，在不断的实践探索中，我们完善了说课的理论，改进了说课的方法，取得了令人满意的成绩。现在说课已经在我 市的教学研究、职称评定、年度考核、教师比武等许多方面广泛运用。

　　一、什么叫说课

　　那么，什么叫说课呢？应该说到目前为止还没有一种具体的科学的定义。按红旗区的说法，说课就是教师口头表述具体课题的教学设想及其理论依据，也就是授课教师在备课的基础上，面对同行或教研人员，讲述自己的教学设计，然后由听者评说，达到互相交流，共同提高的目的的一种教学研究和师资培训的活动。我们在说课实践中认识到，这个定义是不全面的。根据我们的理解，说课既可以是针对具体课题的，也可以是针对一个观点或一个问题的。所以我们认为，说课就是教师针对某一观点、问题或具体课题，口头表述其教学设想及其理论依据。说得简单点，说课其实就是说说你是怎么教的，你为什么要这样教。

　　二、说课的意义

　　说课活动的好处很多，从不同的角度去看，有不同的答案。根据我们的实践和理解，说课活动有以下几个方面的意义：

　　1、说课有利于提高教研活动的实效

　　以往的教研活动一般都停留在上几节课，再请几个人评评课。上课的老师处在一种完全被动的地位。听课的老师也不一定能理解授课教师的意图。导致了教研实效低下。通过说课，让授课教师说说自己教学的意图，说说自己处理教材的方法和目的，让听课教师更加明白应该怎样去教，为什么要这样教。从而使教研的主题更明确，重点更突出，提高教研活动的实效。另外，我们还可以通过对某一专题的说课，统一思想认识，探讨教学方法，提高教学效率。

　　2、说课有利于提高教师备课的质量

　　我们检查了很多教师的备课笔记，从总体上看教师的备课都是很认真的。但是我们的老师都只是简单地备怎样教，很少有人会去想为什么要这样备，备课缺乏理论依据，导致了备课质量不高。通过说课活动，可以引导教师去思考。思考为什么要这样教学，这就能从根本上提高教师备课的质量。

　　3、说课有利于提高课堂教学的效率

　　教师通过说课，可以进一步明确教学的重点、难点，理清教学的思路。这样就可以克服教学中重点不突出，训练不到位等问题，提高课堂教学的效率。　　4、说课有利于提高教师的自身素质


　　一方面，说课要求教师具备一定的理论素养，这就促使教师不断地去学习教育教学的理论，提高自己的理论水平。另一方面，说课要求教师用语言把自己的教学思路及设想表达出来，这就在无形中提高了教师的组织能力和表达能力，提高了自身的素质。

　　5、说课没有时间和场地等的限制

　　上课听课等教研活动都要受时间和场地等的限制。说课则不同，它可以完全不受这些方面的限制，人多可以，人少也可以。时间也可长可短，非常灵活。

　　三、说课的类型

　　说课的类型很多，根据不同的标准，有不同的分法。

　　按学科分：语文说课、数学说课、音体美说课等；按用途分：示范说课、教研说课、考核说课等；但我们从整体来分，说课可以分成两大类：一类是实践型说课，一类是理论型说课。实践型说课就是指针对某一具体课题的说课。而理论型说课是指针对某一理论观点的说课。

　　四、说课的内容

　　说课的内容是说课的关键。不同的说课类型说课的内容自然也不同。这也是我们这几年主要研究的问题。

　　根据我们的实践，实践型说课主要应该有以下几个方面的内容：　　1、说教材 主要是说说教材简析、教学目标、重点难点、课时安排、教具准备等，这些可以简单地说，目的是让听的人了解你要说的课的内容。

　　2、说教法就是说说你根据教材和学生的实际，准备采用哪种教学方法。这应该是总体上的思路。

　　3、说过程这是说课的重点。就是说说你准备怎样安排教学的过程，为什么要这样安排。一般来说，应该把自己教学中的几个重点环节说清楚。如课题教学、常规训练、重点训练、课堂练习、作业安排、板书设计等。在几个过程中要特别注意把自己教学设计的依据说清楚。这也是说课与教案交流的区别所在。　　理论型说课与实践型说课有一定的区别，实践型说课侧重说教学的过程和依据，而理论型说课则侧重说自己的观点。一般来说，理论型说课应该包含以下几个方面的内容：

　　1、说观点理论型说课是针对某一理论观点的说课，所以我们首先要把自己的观点说清楚。赞成什么，反对什么，要立场鲜明。

　　2、说实例理论观点是要用实际的事例来证实的。说课中要引用恰当的、生动的例子来说明自己的观点，这是说课的重点。

　　3、说作用说课不是纯粹的理论交流，它注重的是理论与实践的结合。因此我们要在说课时结合自己的教学实践，把该理论在教学中的作用说清楚。

　　说 课 的 研 究

　　五、说课的范例

　　实践型说课的例子：

　　例1 《我家的小院》

　　"我家有个小院子。院子里种着许多花草树木，一年四季都有迷人的景色。初春，迎春花开出金灿灿的小黄花，最先迎来了春天月季花像一张张笑得合不拢嘴的小脸。地上长着厚厚的苔藓，像铺上一层绿色的地毯。 盛夏，茉莉花散发着阵阵清香。海棠开着耀眼的红花。葡萄架上的绿叶，一片挨着一片，密密层层。站在葡萄架下，抬头可见一串串快要成熟的葡萄像珍珠似的挂满了藤架。深秋，枯黄的树叶像飞舞的黄蝶从树上一片片飘落下来。可是，万年青的叶子仍旧碧绿碧绿的，显得格外精神。一盆盆菊花正开得茂盛。隆冬，鹅毛般的大雪纷纷扬扬，给万物披上了银装。那些娇惯的花草都住进了温暖的屋子，腊梅花却昂首挺胸，迎着风雪，无所谓惧。"

　　说课问题： 1、本课的教学目标如何确定，如何落实这些目标？ 2、本单元的重点训练是读懂长句子。请你说说如何教学文中划线的两个长句子。 3、请你写出本课的板书设计，并说说你设计的思路。

　　理论型说课的例子：

　　例2：学法迁移是我们教学中经常运用的一种方法，请你结合自己的教学实践，举例说如何在课堂教学中利用正迁移，克服负迁移,提高教学效率。

　　例3：新课导入的好坏直接影响着课堂教学的效率。请你结合自己任教的学科，举一个成功的例子和失败的例子，分别说说。

　　例4：要把素质教育落实到课堂。在教学关系上，必须突出学生的主体地位，即学生自身发展的主体，其自主性、能动性和创造性应当充分受到尊重，给予其展现的机会。请你结合自己的实践，谈谈体会。

　　例5 ：要把素质教育落实到课堂。在教学方法上，必须体现教与学的交融，重视教法与学法的相互转化。教师的教是教学生去学，教是为学服务的，教是为了“不教”。在具体操作中，要重视课堂训练，通过语言文字训练，来培养学生的能力，提高课堂教学的效率。请你结合自己的实践，谈谈体会。