垂直于弦的直径

第一课时 垂直于弦的直径（一）

　　教学目标：

　　(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；

　　(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；

　　(3)通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．

　　教学重点、难点：

　　重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．

　　   难点：垂径定理的证明．

　　教学学习活动设计：

　　（一）实验活动，提出问题：

　　1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.

　　2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题.

　　通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．

　　（二）垂径定理及证明：

　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．

　　求证：AE=EB， = ， = ．

　　证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合．因此，AE=BE， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．

　　垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

　　组织学生剖析垂径定理的条件和结论：

　　 CD为⊙O的直径，CD⊥AB AE=EB， = ， = .

　　为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.

　　（三）应用和训练

　　例1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．

　　分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝ AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．

　　解：连结OA，作OE⊥AB于E．

　　则AE=EB．

　　∵AB=8cm，∴AE=4cm．

　　又∵OE=3cm，

　　在Rt△AOE中，

　　 (cm)．

　　∴⊙O的半径为5 cm．

　　说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

　　关系：r = h+d；　r² = d² + (a/2)²

　　例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）

　　说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．

　　练习1：教材P78中练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流．

　　指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.

　　（四）小节与反思

　　教师组织学生进行：

　　知识：(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．

　　方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．

　　（五）作业

　　教材P84中11、12、13．
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