完全平方公式

教学建议

　　一、知识结构

　　二、重点、难点分析

　　本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。

　　1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即：

　　

　　这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的．

　　这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．

　　2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式．

　　在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如 可先变形为 或 或者 ，再进行计算．

　　在运用公式时，防止发生 这样错误．

　　3．运用完全平方公式计算时，要注意：

　　（1）切勿把此公式与公式 混淆，而随意写成 ．

　　（2）切勿把“乘积项” 中的2丢掉．

　　（3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．

　　4． 与 都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．

　　三、教法建议

　　1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同具体题目中的数或式子，用“ ”连结起来，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用完全平方公式进行计算．

　　2．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．重要的是确定两数，然后再看是否两数的和（或差），最后按照公式写出两数和（或差）的平方的结果．

　　3．如何使学生记牢公式呢？我们注意了以下两点．

　　（1）既讲“法”，又讲“理”

　　在教学中要讲法则、公式的应用，也要讲公式的推导，使学生在理解公式、法则道理的基础上进行记忆．我们引导学生借助面积图形对完全平方公式做直观说明，也是对说理的重视．在“明白道理”这个前提下的记忆，即使学生将来发生错误也易于纠正．

　　（2）讲联系、讲对比、讲特点

　　对于类似的内容学生容易混淆，比如在本节出现的(a+b)²=a²+b²的错误，其原因是把完全平方公式和“旧”知识(ab)²=a²b²及分配律弄混，排除新旧知识间相互干扰的一种作法是向学生指明新知识的特点．所以讲“理”是要讲联系、讲对比、讲特点．

 

教学设计示例

　　一、教学目标

　　1．理解完全平方公式的意义，准确掌握两个公式的结构特征．

　　2．熟练运用公式进行计算．

　　3．通过推导公式训练学生发现问题、探索规律的能力．

　　4．培养学生用数形结合的方法解决问题的数学思想．

　　5．渗透数学公式的结构美、和谐美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：尝试指导法、讲练结合法．

　　2．学生学法：本节学习了乘法公式中的完全平方，一个是两数和的平方，另一个是两数差的平方，两者仅一个“符号”不同．相乘的结果是两数的平方和，加上（或减去）两数的积的2倍，两者也仅差一个“符号”不同，运用完全平方公式计算时，要注意：

　　（1）切勿把此公式与公式 混淆，而随意写成 ．

　　（2）切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉．

　　（3）计算时，要先观察题目是否符合公式的条件．若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．

　　  三、重点·难点及解决办法

　　（一）重点

　　掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算．

　　（二）难点

　　综合运用平方差公式与完全平方公式进行计算．

　　（三）解决办法

　　加强对公式结构特征的深入理解，在反复练习中掌握公式的应用．

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　投影仪或电脑、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．让学生自编几道符合平方差公式结构的计算题，目的是辨认题目的结构特征．

　　2．引入完全平方公式，让学生用文字概括公式的内容，培养抽象的数字思维能力．

　　3．举例分析如何正确使用完全平方公式，师生共练完成本课时重点内容．

　　4．适时练习并总结，从实践到理论再回到实践，以指导今后的解题．

　　七、教学步骤

　　（一）明确目标

　　本节课重点学习完全平方公式及其应用．

　　（二）整体感知

　　掌握好完全平方公式的关键在于能正确识别符合公式特征的结构，同时还要注意公式中2ab中2的问题，在解题过程中应多观察、多思考、多揣摩规律．

　　（三）教学过程

　　1．计算导入；求得公式

　　（1）叙述平方差公式的内容并用字母表示；

　　（2）用简便方法计算

　　 ①103×97

　　 ②103 × 103

　　（3）请同学们自编一个符合平方差公式结构的计算题，并算出结果．

　　学生活动：编题、解题，然后两至三个学生说出题目和结果．

　　要想用好公式，关键在于辨认题目的结构特征，正确使用公式，这节课我们继续学习“乘

　　法公式”．

　　引例：计算 ，

　　学生活动：计算 ， ，两名学生板演，其他学生在练习本上完成，然后说出答案，得出公式．

　　

　　

　　或合并为：

　　教师引导学生用文字概括公式．

　　方法：由学生概括，教师给予肯定、否定或更正，同时板书．

　　两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．

　　【教法说明】

　　①复习平方差公式，主要是引起回忆，巩固公式；编题在于提高兴趣．

　　②有了平方差公式的推导过程，学生基本建立起了一些特殊多项式乘法的认识方法，因此推导完全平方公式可以由计算直接得出．

　　2．结合图形，理解公式

　　　

　　根据图形完成下列问题：

　　如图：A、B两图均为正方形，

　　（1）图A中正方形的面积为____________，（用代数式表示）

　　图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的面积分别为_______________________。

　　（2）图B中，正方形的面积为____________________，

　　Ⅲ的面积为______________，

　　Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积和为____________，

　　用B、Ⅰ、Ⅱ、Ⅳ的面积表示Ⅲ的面积_________________。

　　分别得出结论：

　　

　　学生活动：在教师引导下回答问题．

　　【教法说明】利用图形讲解，增强学生对公式的直观理解，以便更好地掌握公式，同时也培养学生数形结合的数学思想。

　　3．探索新知，讲授新课

　　（1）引例：计算

　　教师讲解：在 中，把x看成a，把2y看成b，在 中把2x看成a，把3y看成b，则 、 ，就可用完全平方公式来计算，即

　　

　　　 　　  　

　　　 　　  

　　

　　

　　　 　 　　  　

　　　 　 　　  　

　　

　　【教法说明】  引例的目的在于使学生进一步理解公式的结构，为运用公式打好基础．

　　（2）例1  运用完全平方公式计算：

　　① 　　② 　　③

　　学生活动：学生独立在练习本上尝试解题，3个学生板演．

　　【教法说明】  让学生先模仿公式解题，学生可能会出现一些问题，这也正是学生对公式理解、应用和熟练程度上存在的需要解决的问题，反馈后要紧扣公式，重点讲解，达到解决问题的目的，关于例呈中（3）的计算，可对照公式直接计算，也可变形成 ，然后再进行计算，同时也可训练学生灵活运用学过的知识的能力．

　　4．尝试反馈，巩固知识

　　练习一

　　运用完全平方公式计算：

　　（1） 　　（2） 　　（3）

　　（4） 　　（5） 　　（6）

　　（7） 　　（8） 　　（9）

　　（l0）

　　学生活动：学生在练习本上完成，然后同学互评，教师抽看结果，练习中存在的共性问题要集中解决．

　　5．变式训练，培养能力

　　练习二

　　运用完全平方公式计算：

　　（l） 　（2） 　（3） 　（4）

　　学生活动：学生分组讨论，选代表解答．

　　练习三

　　（1）有甲、乙、丙、丁四名同学，共同计算，以下是他们的计算过程，请判断他们的计算是否正确，不正确的请指出错在哪里．

　　甲的计算过程是：原式

　　　　

　　乙的计算过程是：原式

　　　　

　　丙的计算过程是：原式

　　　　

　　丁的计算过程是：原式

　　　　

　　　　

　　（2）想一想， 与 相等吗？为什么？

　　 与 相等吗？为什么？

　　学生活动：观察、思考后，回答问题．

　　【教法说明】  练习二是一组数字计算题，使学生体会到公式的用途，也可以激发学生学习兴趣，调动学生的学习积极性，同时也起到加深理解公式的作用．练习三第（l）题实际是课本例4，此题是与平方差公式的综合运用，难度较大．通过给出解题步骤，让学生进行判断，使难度降低，学生易于理解，教师要注意引导学生分析这类题的结构特征，掌握解题方法．通过完成第（2）题使学生进一步理解 与 之间的相等关系，同时加深理解代数中“a”具有的广泛意义．

　　练习四

　　运用乘法公式计算：

　　（l） 　　（2）

　　（3） 　（4）

　　学生活动：采取比赛的方式把学生分成四组，每组完成一题，看哪一组完成得快而且准确，每组各派一个学生板演本组题目．

　　【教法说明】  这样做的目的是训练学生的快速反应能力及综合运用知识的能力，同时也激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛．

　　（四）总结、扩展

　　这节课我们学习了乘法公式中的完全平方公式．

　　引导学生举例说明公式的结构特征，公式中字母含义和运用公式时应该注意的问题．

　　八、布置作业

　　P133  1，2．（3）（4）．

　　参考答案

　　略．

《完全平方公式》