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下学期 4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切2


4.6两角和与差的正弦、余弦、正切(第二课时)

(一)教学具准备

  投影仪

(二)教学目标

  1.掌握利用 得到的两角和与差的正弦公式.

  2.运用 公式进行三角式的求值、化简及证明.

(三)教学过程

1.已知 两角,我们可以利用 的三角函数去计算复合角 的余弦,那么,我们能否用 的三角函数去表达复合角 的正弦呢?本节课将研究这一问题.

2.探索研究

(1)请一位同学在黑板上写出 , 的展开式.

  

   .

  由于公式中的 是任意实数,故我们对 实施特值代换后并不影响等号成立,为此我们曾令 ,得到 ,

   两个熟悉的诱导公式,请同学们尝试一下,能否在 中对 选取特殊实数代换,使 诱变成 呢?或者说能否把 改成用余弦函数来表示呢?请同学回答.

  生:可以,因为

  该同学的思路非常科学,这样就把新问题 问题化归为老问题: .

  事实上:    (视“ ”为 )

  

  

  这样,我们便得到公式.

   简化为 .

  由于公式中的 仍然是一切实数,请同学们再想一下,如何获得 的展开式呢?请同学回答.

  生:只要在公式 中用 代替 ,就可得到:

  

  即     

  师:由此得到两个公式:

  对于公式 还可以这样来推导:

  

  

  

说明:

  (1)上述四个公式 ,虽然形式、结构不同,但它们本质是相同的,因为它们同出一脉:

  

  这样我们只要牢固掌握“中心”公式 的由来及表达方式,就掌握了其他三个公式了.这要作为一种数学思想、一个数学方法来仔细加以体会.

  (2) 、 是用 的单角函数表达复合角 的正、余弦.反之,我们不得不注意,作为公式的逆用,我们也可以用复合角 的三角函数来表达单角三角函数.诸如: , , 及 四种表达式,实质上是方程思想的体现:

  由 得:

     ①

  由 得

      ②

  由 ,得:

      ③

  由 得:

      ④

  等式①、②、③、④在求值、证明恒等式中无疑作用是十分重大的.

(2)例题分析

【例1】  不查表,求 , 的值.

  解:

    

    

  说明:我们也可以用 系统来做:

  

【例2】已知, , , , 求, .

  分析:观察公式 和本题的条件,必须先算出 ,

  解:由 , 得

  

  又由 , 得

  

  ∴

  

【例3】不查表求值:

(1) ;

(2) .

解:(1)

  

  

  

(2)

  

  

  

  

练习(投影)

  (1) , ,则 .

  (2)在△ 中,若 ,则△ 是___________.

参考答案:

(1)∴

  

  ∴

(2)由 ,

  ∴

  ∴ , 为钝角,即△ 是钝角三角形.

【例4】求证: .

  分析:我们从角入手来分析,易见左边有复角(即两角和与差)右边全是单角,所以思路明确,就是要把复角变单角.

  证明:

  左边

  

  

   右             ∴原式成立

  如果我们本着逆用公式来看待本题,那么还可这样想:

  由

  

  令 , 则

              ①

  至于        

我们可这样分析:

  ∵

  令 得

  

  

  同理

  ∴①可进一步改写为:

  

  

  ∴ ……②

  又∵

  

  

  

   ……③

由②、③得

  

  本题还可以从函数名称来分析,左边是正、余弦函数,右边是正切函数,故可考虑从右边入手用化弦法,请同学们自己把上面过程反过来,从右边推出左边.

【例5】求证:

  师:本题我们可以从角的形式来分析,左边是单角,右边是复角,如果从右边证左边则要把复角变单角(即利用和角公式);如果从左边证右边则须配一个角 ,所以本题起码有两种证法.

  证法1:右边

  

   左边

  ∴原式成立

  师:另一种证法根据刚才的分析要配出角 ,怎样配?大家仔细观察证法一就不难发现了.

  证法2:(学生板书)

  左边

    

     右边       ∴原式成立

3.演练反馈(投影)

(1)化简

(2)已知 ,则 的值(      )

  A.不确定,可在[0、1]内取值  B.不确定,可在[-1、1]中取值

  C.确定,等于1          D.确定,等于1或-1

参考答案:

(1)原式

  

  

(2)C

4.总结提炼

  (1)利用“拆角”“凑角”变换是进行三角函数式求值、证明、化简的常用技巧,如: , , .在三角形中, , 等变换技巧,同学们应十分熟悉.

  (2)本节课的例5,代表着一类重要题型,同学们要学习它的凑角方法,一般地 ,其中 .

  (3)在恒等式中,实施特值代换,是一类重要的数学方法——母函数法,这种方法在数学的其他学科中,均有用武之地。它反映的是特殊与一般的辨证统一关系.

(四)板书设计

  课题:两角和与差的正弦

1.公式推导

  ①

  

  =……

   得到公式………

  把公式中 换成 得公式………

2.公式的结构特点

   用单角函数表示复角函数

   右边中两个积的函数名称不同

   ……运算符号同左边括号

  中的运算符号一致(区别于 、 )

3.折、凑角技巧

例1

例2

例3

例4

例5

  演练反馈

  总结提炼


《下学期 4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切2》
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