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下学期 4.5 正弦、余弦的诱导公式


正弦、余弦的诱导公式教学设计示例(一)

教学目标:
  
1.掌握诱导公式及其推演时过程.
  2.会应用诱导公式,进行简单的求值或化简.
教学重点:
  
理解并掌握诱导公式.
教学难点:
  
运用诱导公式求三角函数值,化简或证明三角函数式.
教学用具:
  
三角板、圆规、投影仪.
教学过程:
1.设置情境
  我们已经学过了诱导公式一: , , ,( ),有了它就可以把任一角的三角函数求值问题,转化为 ~ 间角的三角函数值问题.那么能否再把 ~ 间的角的三角函数求值,继续化为我们熟悉的 ~ 间的角的三角函数求值问题呢?如果能的话,那么任意角的三角函数求值,都可以化归为锐角三角函数求值,并通过查表方法而得到最终解决,本课就来讨论这一问题.
2.探索研究
  (1)出示下列投影内容
  设 ,对于任意一个 到 的角 ,以下四种情形中有且仅有一种成立.

  

  首先讨论 ,其次讨论 , 以及 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系,为了使讨论更具一般性,这里假定 为任意角.
(2)学习诱导公式二、三的推导过程.
  已知任意角 的终边与单位圆相交于点 ,请同学们思考回答点 关于 轴、 轴、原点对称的三个点的坐标间的关系.
  点 关于 轴对称点 ,关于 轴对称点 ,关于原点对称点 (可利用演示课件).
  图1由于 角的终边与单位圆交于 ,则 的终边就是角 终边的反向延长线,角 的终边与单位圆的交点为 ,则 是与 关于 对称的点.所以 ,又因单位圆半径 ,由正弦函数、余弦函数定义,可得
             
             
  
    
于是得到一组公式(公式二)

  我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系,如图2,利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点 ,角 的终边与单位圆相交于点 ,这两个角的终边关于 轴对称,所以      


  
于是又得到一组公式(公式三) 

【例1】求下列三角函数值:
  (1) (2) ; 
  (3) ;(4) .
解:(1)
            
(2)
         
         
(3)
        
(4)
         
         
【例2】化简:
解:∵
          
          
   
          
          
∴ 原式
(3)推导诱导公式四、五
  请同学们思考如何利用已学过的诱导公式推导 , 与 的三角函值之间的关系?由诱导公式我们可以得到
  
  

    
由此可得公式四、五

  

  公式一、二、三、四、五都叫做诱导公式.概括如下: , , , 的三角函数值,等于 的同名函数值,前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号,简化成“函数名不变,符号看象限”的口诀.
【例3】求下列各三角函数:
  (1) ;  (2) .
解:(1)
          
          
  (2)
          
           .
  观察以上的解题过程,请同学们总结,利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤.
学生回答后老师总结得出,在求任意角的三角函数值时一般可按以下步骤:

  运用诱导公式解题的本质是多次运用“化归”思想方法,化负角为正角,化 到 的角为 到 间的角,再求值的过程.
3.演练反馈(投影仪)
  (1)已知 ,求 的值
  (2)已知 ,求 的值
  (3)已知 ,求 的值
参考答案:
  (1)若 为Ⅳ象限角,则
     若 为Ⅰ象限角,则
  (2)
  (3)∵
     
     
  ∴
4.本课小结
  (1)求任意角的三角函数式的一般程序:(角)变正(角)→(角)变小(角)→(一直)变到 之间(能查表).
  (2)变角是有一定技巧的,如 可写成 ,也可以写成 不同表达方法,决定着使用不同的诱导公式.
  (3)凑角方法也体现出很大技巧。如,已知角“ ”,求未知角“ ”,可把 改写成 .
课时作业:
  
1.已知 , 是第四象限角,则 的值是(       )
  A.   B.   C.   D.

2.下列公式正确的是(      )
  A.   B.
  C.   D.
3. 的成立条件是(       )
  A. 为不等于 的任意角  B.锐角
  C.      D. , 且
4.在 中,下列各表达式为常数的是(       )
  A.   B.
  C.            D.
5.化简
  (1)
  (2)
6.证明恒等式
  

参考答案:
1.A;  2.D;  3.D;  4.C;  5.(1)0,(2) ;
6.左


《下学期 4.5 正弦、余弦的诱导公式》
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