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下学期 4.4 同角三角函数的基本关系式


同角三角函数的基本关系式

教学目标:

  1.掌握同角三角函数之间的三组常用关系,平方关系、商数关系、倒数关系.

  2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式.

教学重点:

  理解并掌握同角三角函数关系式.

教学难点:

  已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号的选择;

教学用具:

  直尺、投影仪.

教学步骤:

1.设置情境

  与初中学习锐角三角函数一样,本节课我们来研究同角三角函数之间关系,弄清同角各不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化.

2.探索研究

(1)复习任意角三角函数定义

  上节课我们已学习了任意角三角函数定义,如图1所示,任意角 的六个三角函数是如何定义的呢?

  在 的终边上任取一点 ,它与原点的距离是 ,则角 的六个三角函数的值是:

   ;    ;    

   ;    ;    

(2)推导同角三角函数关系式

  观察 ,当 时,有何关系?

  当 有没有商数关系?

  通过计算发现 互为倒数:∵

  由于

  这些三角函数中还存在平方关系,请计算 的值.

  由三角函数定义我们可以看到:

  ∴ ,现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下:

  ①平方关系:

  ②商数关系:

  ③倒数关系:

  即同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角 的正切,同一个角的正切、余切之积等于1(即同一个角的正切、余切互为倒数).上面这三个关系式,我们称之为恒等式,即当 取使关系式两边都有意义的任意值时,关系式两边的值相等,在第二个式中, 在第三个式中, 的终边不在坐标轴上,这时式中两边都有意义,以后解题时,如果没有特别说明,一般都把关系式看成是意义的.其次,在利用同角三角函数的基本关系式时,要注意其前提“同角”的条件.

(3)同角三角函数关系式的应用

  同角三角函数关系式十分重要,应用广泛,其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数,求出这个角的其他三角函数值.

【例1】已知 ,且 是第二象限角,求 的值.

解:∵ ,且 ,∴ 是第二或第三象限角.

  如果 是第二象限角,那么

  

  

  如果 是第三象限角,那么

说明:本题没有具体指出 是第几象限的角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.

  【例2】已知 ,求 的值.

  解: ,且 是第二或第三象限角.

  如果 是第二象限角,那么

  

  

  如果 是第三象限角,那么

  说明:本题没有具体指出 是第几象限角,则必须由 的函数值决定 可能是哪几象限的角,再分象限加以讨论.

  【例3】已知 为非零实数,用 表示

  解:因为 ,所以

  又因为 ,所以

  于是     ∴

  由 为非零实数,可知角 的终边不在坐标轴上,考虑 的符号分第一、第四象限及第二、三象限,从而:

  

  

  在三角求值过程中应尽量避免开方运算,在不可避免时,先计算与已知函数有平方关系的三角函数,这样可只进行一次开方运算,并可只进行一次符号说明.

  同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式,请看例4

  【例4】化简下列各式:

  (1) ;(2)

  解:(1)               (2)

                           

                               

3.演练反馈(投影)

(1)已知: ,求 的其他各三角函数值.

(2)已知 ,求

(3)化简:

解答:(1)解:∵ ,所以 是第二、第三象限的角.

  如果 是第二象限的角,则:

  

  

  

  又     

  如果 是第三象限的角,那么

             

        

(2)解:∵    ∴ 是第二或第四象限的角

由【例3】的求法可知当 是第二象限时

  

  

  当 是第四象限时

  

  

(3)解:原式

       

       

       

4.本课小结

  (1)同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”,因此 …….

  (2)诸如 ,……它们都是条件等式,即它们成立的前提是表达式有意义.

  (3)利用平方关系时,往往要开方,因此要先根据角所在象限确定符号,即要就角所在象限进行分类讨论.

课时作业:

1.已知 ,则 等于(      )

  A.        B.       C.          D.

2.若 ,则 的值是(      )

  A.-2        B.2         C.±2            D.

3.化简

4.化简 ,其中 为第二象限角.

5.已知 ,求 的值.

6.已知 是三角形的内角, ,求 值.

参考答案:1.D; 2.B; 3.1; 4. ; 5.3; 6.

注:4.略解:原式

         

  ∵ 在第二象限

  ∴

  ∴

6.略解:

  由 ,平方得,

  ∴ 

  ∵ 是三角形内角

  ∴只有

  ∴

           

  及 ,联立,得:

  ∴


《下学期 4.4 同角三角函数的基本关系式》
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