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下学期>>4.3 任意角的三角函数


任意角的三角函数

教学目标:

  1.通过对初中锐角三角函数定义的回忆,掌握任意角三角函数的定义法,并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值.

  2.掌握已知角 终边上一点坐标,求四个三角函数值.(即给角求值问题)

教学重点:

  任意角的三角函数的定义.

教学难点:

  任意角的三角函数的定义,正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示.

教学用具:

  直尺、圆规、投影仪.

教学步骤:

1.设置情境

  角的范围已经推广,那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢?本节课就来讨论这一问题.

2.探索研究

(1)复习回忆锐角三角函数

  我们已经学习过锐角三角函数,知道它们都是以锐角 为自变量,以比值为函数值,定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数,本节课我们研究当角 是一个任意角时,其三角函数的定义及其几何表示.

(2)任意角的三角函数定义

  如图1,设 是任意角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,当角 在第一、二、三、四象限时的情形,它与原点的距离为 ,则

定义:①比值 叫做 的正弦,记作 ,即

  ②比值 叫做 的余弦,记作 ,即

图1

  ③比值 叫做 的正切,记作 ,即

  同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件

提问:对于确定的角 ,这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢?

  利用三角形相似的知识,可以得出对于角 ,这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关,只与角 的大小有关.

  请同学们观察当 时, 的终边在 轴上,此时终边上任一点 的横坐标 都等于0,所以 无意义,除此之外,对于确定的角 ,上面三个比值都是惟一确定的.把上面定义中三个比的前项、后项交换,那么得到另外三个定义.

  ④比值 叫做 的余切,记作 ,则

  ⑤比值 叫做 的正割,记作 ,则

  ⑥比值 叫做 的余割,记作 ,则

可以看出:当 时, 的终边在 轴上,这时 的纵坐标 都等于0,所以 的值不存在,当 时, 的值不存在,除此之外,对于确定的角 ,比值 分别是一个确定的实数,所以我们把正弦、余弦,正切、余切,正割及余割都看成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上六种函数统称三角函数.

(3)三角函数是以实数为自变量的函数

  对于确定的角 ,如图2所示, 分别对应的比值各是一个确定的实数,因此,正弦,余弦,正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,当采用弧度制来度量角时,每一个确定的角有惟一确定的弧度数,这是一个实数,所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量,以比值为函数值的函数.

  即:实数角(其弧度数等于这个实数)三角函数值(实数)

(4)三角函数的一种几何表示

  利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线,如下图3.

图3

  设任意角 的顶点在原点 ,始边与 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 ,过 轴的垂线,垂足为 ;过点 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与角 的终边(当 为第一、四象限时)或其反向延长线(当 为第二、三象限时)相交于 ,当角 的终边不在坐标轴上时,我们把 都看成带有方向的线段,这种带方向的线段叫有向线段.由正弦、余弦、正切函数的定义有:

  这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.当角 的终边在 轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点;当角 的终边在 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.

(5)例题讲评

  【例1】已知角 的终边经过 ,求 的六个三角函数值(如图4).

解:∵    

  ∴

                                   

  

  

  

  

  

  提问:若将 改为 ,如何求 的六个三角函数值呢?(分 两种情形讨论)

【例2】求下列各角的六个三角函数值

  (1) ;(2) ;(3)

解:(1)∵当 时,

  ∴

   不存在, 不存在

  (2)∵当 时,

  ∴

   不存在 

   不存在 

  (3)当 时,

  ∴                  

   不存在                  不存在

【例3】作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线.(1) ;(2)

  解: 的正弦线,余弦线,正切线分别为

【例4】求证:当 为锐角时,

  证明:如右图,作单位圆,当 时作出正弦线 和正切线 ,连

  ∵

  ∴

  ∴

利用三角函数线还可以得出如下结论

   的充要条件是 为第一象限角.

   的充要条件是 为第三象限角.

练习(学生板演,利用投影仪)

  (1)角 的终边在直线 上,求 的六个三角函数值.

  (2)角 的终边经过点 ,求 的值.

  (3)说明 的理由.

解答:

(1)先确定终边位置

  ①如 在第一象限,在其上任取一点 ,则

         

               

  ②如 在第三象限,在终边上任取一点 ,则

    ,        

                   

  (2)若 ,不妨令 ,则 在第二角限

  ∴                      

  (3)在 终边上任取一点 ,因为 终边相同,故 也为角 终边上一点,所以 成立.

  说明:以后会知道,求三角函数值的方法有多种途径.用定义求角 的三角函数值,是基本方法之一.当角终边不确定时,要首先确定终边位置,然后再在终边上取一个点来计算函数值.

3.反馈训练

(1)若角 终边上有一点 ,则下列函数值不存在的是(      ).

  A.     B.     C.    D.

(2)函数 的定义域是(       ).

  A.    B.

  C.     D.

(3)若 都有意义,则

(4)若角 的终边过点 ,且 ,则

参考答案:(1)D;(2)B;(3) 或8,说明点 在半径为 的圆上;(4)-6.

4.本课小结

  利用定义求三角函数值,首先要建立直角坐标系,角顶点和始边要按既定的位置设置.角 的三角函数定义式,其实是比例的化身,它的背后是相似形在支称着,不过这个定义具有一般性,如轴上角的三角函数,如果没有定义作为论据,欲求其函数性就不是很容易.

  分类讨论(角位置)是三角函数求值过程中,使用频率非常高的一个数学思想,而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴.

课时作业:

1.已知角 的终边经过下列各点,求角 的六个三角函数值.

  (1)      (2)

2.计算

  (1)

  (2)

  (3)

  (4)

3.化简

  (1)

  (2)

  (3)

  (4)

参考答案:

1.(1)

     

     

  (2)

      

      

2.(1)-2;(2)8;(3)-1;(4)

3.(1)0;(2) ;(3) ;(4)


《下学期>>4.3 任意角的三角函数》
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