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下学期 4.1 角的概念的推广


教学目标

  1.理解引入大于 角和负角的意义.

  2.理解并掌握正、负、零角的定义.

  3.掌握终边相同角的表示法.

  4.理解象限角的概念、意义及其表示方法.

重点难点

  1.理解并掌握正、负、零角的定义.

  2.掌握终边相同角的表示法.

教学用具

  直尺、投影仪

教学过程

1.设置情境

  设置实例(1)用扳手拧螺母(课件);(2)跳水运动员身体旋转(视频).说明旋转第二周、第三周……,则形成了更大范围内的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法.

2.探索研究

(1)正角、负角、零角概念

  ①一条射线由原来位置 ,绕着它的端点 ,按逆时针方向旋转转到 形成的角规定为正角,如图中角 ;把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角,如图中的 ;射线没作任何旋转时,我们认为它这时也形成了一个角,并把这个角规定为零角,与初中所学角概念一样, ,点 分别叫该角的始边、终边、角顶点.

  ②如果把角顶点与直角坐标系原点重合,角的始边在 轴的正半轴上,这时,角的终边落在第几象限,就称这个角是第几象限角,特别地,如果角的终边落在坐标轴上,就说该角不属于任何象限,习惯上称其为轴上角

  ③我们作出 三个角,易知,它们的终边相同。还可以看出, 的终边也是与 角终边重合的,而且可以理解,与 角终边相同的角,连同 在内,可以构成一个集合,记作 .一般地,我们把所有与角 终边相同的角,连同角 在内的一切角,记成 或写成集合 形式.

(2)例题分析

  【例1】在 间,找出与列列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角(1) ;(2) ;(3)

解:(1)∵

    ∴与 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;

  (2)∵

    ∴与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角;

  (3)

  所以与 角终边相同的角是 ,它是第二象限角.

  

  总结:草式写在草稿纸上,正的角度除以 ,按通常除去进行;负的角度除以 ,商是负数,它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为正值.

练习:(学生板演,可用投影给题)

(1)一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.

(2)集合 中,各角的终边都在(      )

  A. 轴正半轴上,

  B. 轴正半轴上,

  C. 轴或 轴上,

  D. 轴正半轴或 轴正半轴上

  解答:(1)   (2)C

  【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 ,并把 中适合不等式 的元素 写出来:

  (1) ;(2) ;(3)

  解:(1)

   中适合 的元素是

         

  (2)

  满足条件的元素是

     

  (3)

   中适合元素是

  

  

  

  说明:与角 终边相同的角,连同 在内可记为 这里

  (1) ;  (2) 是任意角;

  (3) 之间是“+”连接,如 应看做

  (4)终边相同角不一定相等,但相等的角终边必相同,终边相同的角有无数个,它们彼此相差 的整数倍;

  (5)检查两角 终边是否相同,只要看 是否为整数.

练习:(学生口答:用投影给出题)

(1)请用集合表示下列各角.

  ① 间的角  ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角.

(2)分别写出:

  ①终边落在 轴负半轴上的角的集合;

  ②终边落在 轴上的角的集合;

  ③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合;

  ④终边落在四象限角平分线上的角的集合.

解答(1)①

    ②

    ③ ;④

  (2)①

    ②

    ③

    ④

  说明:第一象限角未必是锐角,小于 的角不一定是锐角, 间的角,根据课本约定它包括 ,但不包含

  【例3】用集合表示:

  (1)第三象限角的集合.

  (2)终边落在 轴右侧的角的集合.

  解:(1)在 中,第三象限角范围为 ,而与每个 角终边相同的角可记为 ,故该范围中每个角适合 ,故第三象限角集合为

  (2)在 中, 轴右侧的角可记为 ,同样把该范围“旋转” 后,得 ,故 轴右侧角的集合为

  说明:一个角按顺、逆时针旋转 )后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺逆时针旋转 )角后,所得“区间”仍与原区间重叠.

3.练习反馈

  (1)与 的终边相同且绝对值最小的角是______________.

  (2)若角 与角 的终边重合,则 的关系是___________,若角 与角 的终边在一条直线上,则 的关系是____________.

  (3)若 是第四象限角,则 是(     ).

  A.第一象限角  B.第二象限角  C.第三象限角   D.第四象限角

答案:(1)

   (2)

   (3)C

4.总结提炼

  判断一个角 是第几象限角,只要把 改写成 ,那么 在第几象限, 就是第几象限角,若角 与角 适合关系: ,则 终边相同;若角 适合关系: ,则 终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系,可首先把它们化为: 这种模式( ),然后只要考查 的相关问题即可.另外,数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.

课时作业

1.在 范围内,找出与下列各角终边相同角,并指出它们是哪个象限角

  (1)  (2) (3)  (4)

2.写出终边在 轴上的角的集合(用 的角表示)

3.写出与 终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式 的元素 写出来.

4.时针走过3小时20分,则分钟所转过的角的度数为______________,时针所转过的角的度数为______________.

5.写出终边在直线 上的角的集合,并给出集合中介于 之间的角.

6.角 中的一个角,若角 角有相同始边,且又有相同终边,则角

参考答案:

1.(1)   (2)   (3)   (4)

2.

3.

4.

5.

6.


《下学期 4.1 角的概念的推广》
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