分组分解法

教学目标

　　1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；

　　2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力.

　　教学重点和难点

　　重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用.

　　难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法.

　　教学过程设计

　　一、复习

　　把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.

　　(1)a²－ab+3b－3a；　　(2)x²－6xy+9y²－1；

　　(3)am－an－m²+n²；　　(4)2ab－a²－b²+c².

　　解 (1) a²－ab+3b－3a

　　　　　=(a²－ab)－(3a－3b)

　　　　　=a(a－b)－3(a－b)

　　　　　=(a－b)(a－3);

　　　　(2)x²－6xy+9y²－1

　　　　　=(x－3y) ²－1

　　　　　=(x－3y+1)(x－3y－1);

　　　　(3)am－an－m²+n²

　　　　　=(am－an)－(m²－n²)

　　　　　=a(m－n)－(m+n)(m－n)

　　　　　=(m－n)(a－m－n);

　　　　(4)2ab－a²－b²+c²

　　　　　=c²－(a2+b2－2ab)

　　　　　=c²－(a－b) ²

　　　　　=(c+a－b)(c－a+b).

　　第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.

　　第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式

继续分解因式.

　　第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.

　　第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式

，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.

　　把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运

用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化.

　　这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.

　　二、新课

　　例1 把 分解因式.

　　问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的?

　　答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.

　　解 方法一

　　方法二

　　　　　　　　　　 ；

　　例2 把分解因式.

　　问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解?

　　答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.

　　解：

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

　　　　　　　　　　=

例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式.

　　分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式.

　　解　45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2)

　　　　　　　　　　　　=5a[9m2－(4x2－4xy+y2)]

　　　　　　　　　　　　=5a[(3m2)－(2x－y) 2]

　　　　　　　　　　　　=5a(3m+2x－y)(3m－2x+y).

　　例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式.

　　分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.

　　解 2(a2－3mn)+a(4m－3n)=2a2－6mn+4am－3an

　　　　　　　　　　　　　=(2a2－3an)+(4am－6mn)

　　　　　　　　　　　　　=a(2a－3n)+2m(2a－3n)

　　　　　　　　　　　　　=(2a－3n)(a+2m).

　　指出：如果给出的多项式中有因式乘积，这时可先进行乘法运算，把变形后的多项式按照分组原则，用分组分解法分解因式.
三、课堂练习

　　把下列各式分解因式：

　　(1)a2+2ab+b2－ac－bc；　　(2)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；

　　(3)4a2+4a－4a2b+b+1；　　(4)ax2+16ay2－a－8axy；

　　(5)a(a2－a－1)+1；　　　(6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；

　　答案：

　　(1)(a+b)(a+b－c)；　　　　(2)(a－b+m+m)(a－b－m－n)；

　　(3)(2a+1)(2a+1－2ab+b)；　(4)a(x－4y+1)(x－4y－1)；

　　(5)(a－1) 2 (a+1)；  　　　(6)(bm+an)(am+bn).

　　四、小结

　　1.把一个多项式因式分解时，如果多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的形式.如果另一个因式是四项(或四项以上)的多项式，再考虑用分组分解法因式分解.

　　2.如果已知多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例3)，先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.

　　五、作业

　　1.把下列各式分解因式：

　　(1)x3y－xy3；　　　　　(2)a4b－ab4；

　　(3)4x2－y2+2x－y；　　　(4)a4+a3+a+1；

　　(5)x4y+2x3y2－x2y-2xy2；　(6)x3－8y3－x2－2xy－4y2；

　　(7)x2+x－(y2+y)；　　　(8)ab(x2－y2)+xy(a2－b2).

　　2.已知x－2y=－2b=－4098，求2bx2－8bxy+8by2－8b的值.

　　答案：

　　1.(1)xy(x+y)(x－y)；　　　(2)ab(a－b)(a2+ab+b2)；

　　  (3)(2x－y)(2x+y+1)；　　(4)(a+1) 2 (a2－a+1)；

　　　(5)xy(x+2y)(x+1)(x－1)；　(6)(x2+2xy+4y2)(x－2y－1)；

　　　(7)(x－y)(x+y+1)；　　　(8)(ax－by)(bx+ay).

　　2.原式=2b(x－2y+2)(x－2y－2)当x－2y=－2，b=－4098时，原式的值=0.

　　课堂教学设计说明

　　1.突出“通法”的作用.

　　对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和程序性的解题思路，学生应切实掌握.安排例1的目的是：引导学生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式，促使学生能举一反三，触类旁通.

　　2.加强各种方法的纵横联系.

　　把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，进行纵横联系，综合运用，考察学生掌握因式分解的方法和技能的状况是这节课教学设计的目标.通过讨论例3，引导学生综合应用三种方法把多项式分解因式，以开发学生解题思路的变通性和灵性活，对于启迪学生的思维和开阔学生的视野起到重要作用.

　　3.打通相反的思维过程.

　　因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思维过程，学生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联系整式的乘法.安排例4，目的是引导学生认识到，在把多项式因式分解时，如果给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需要进行乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启发学生在学习数学时，应善于对数学知识和方法融汇贯通习惯于正向和逆向思维.
探究活动

　　系数为1的 型的二次三项式同学们已经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式 怎么分解呢？如：

　　1． ；2. .

　　有兴趣的同学可以模仿 型式子的因式分解试着把上面两式分解因式,你能总结出规律吗?

　　答案:

　　1. ; 2. .

　　规律：二次项系数不是1的二次三项式 分解因式时，若满足下列条件，则可将其分解为 ：

　　 可分解为 ， 即

　　 可分解为 ， 即

　　 ， ， ， 满足 ，即

　　按斜线十字交叉相乘的积之和 若与一次项系数 相等，则可分解因式，

　　第一个因式由第一行的两个数组成

　　第二个因式由第二行的两个数组成

　　分解结果为：