第二册不等式证明

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1． 求证：x² + 3 > 3x

    证：∵(x² + 3) - 3x =

        ∴x² + 3 > 3x

2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

   证：

∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 ,  b - a > 0

∴     即：

         变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？

3． 已知a, b都是正数，并且a ¹ b，求证：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

   证：(a⁵ + b⁵ ) - (a²b³ + a³b²) = ( a⁵ - a³b²) + (b⁵ - a²b³ )

= a³ (a² - b² ) - b³ (a² - b²) = (a² - b² ) (a³ - b³)

= (a + b)(a - b)²(a² + ab + b²)

∵a, b都是正数，∴a + b, a² + ab + b² > 0

又∵a ¹ b，∴(a - b)² > 0   ∴(a + b)(a - b)²(a² + ab + b²) > 0

即：a⁵ + b⁵ > a²b³ + a³b²

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m ¹ n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t₁, t₂，

则：   可得：

∴

∵S, m, n都是正数，且m ¹ n，∴t₁ - t₂ < 0   即：t₁ < t₂

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m = n，结果会怎样？

  三、作商法

5． 设a, b Î R⁺，求证：

   证：作商：

当a = b时，

       当a > b > 0时，

       当b > a > 0时，

∴ （其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：作差、作商

五、作业： P15   练习

           P18   习题6.3  1—4