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正多边形的有关计算


教学设计示例1

  教学目标:

  (1)会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题;

  (2)巩固学生解直角三角形的能力,培养学生正确迅速的运算能力;

  (3)通过正多边形有关计算公式的推导,激发学生探索和创新.

  教学重点:

  把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题.

  教学难点:

  正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算.

  教学活动设计:

  (一)创设情境、观察、分析、归纳结论

  1、情境一:给出图形.

  问题1:正n边形内角的规律.

  观察:在图形中,应用以有的知识(多边形内角和定理,多边形的每个内角都相等)得出新结论.

  教师组织学生自主观察,学生回答.(正n边形的每个内角都等于 .)

  2、情境二:给出图形.

  问题2:每个图形的半径,分别将它们分割成什么样的三角形?它们有什么规律?

  教师引导学生观察,学生回答.

  观察:三角形的形状,三角形的个数.

  归纳:正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形.

  3、情境三:给出图形.

  问题3:作每个正多边形的边心距,又有什么规律?

  观察、归纳:这些边心距又把这n个等腰三角形分成了个直角三角形,这些直角三角形也是全等的.

  (二)定理、理解、应用:

  1、定理: 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形.

  2、理解:定理的实质是把正多边形的问题向直角三角形转化.

  由于这些直角三角形的斜边都是正n边形的半径R,一条直角边是正n边形的边心距rn,另一条直角边是正n边形边长an的一半,一个锐角是正n边形中心角 的一半,即 ,所以,根据上面定理就可以把正n边形的有关计算归结为解直角三角形问题.

  3、应用:

  例1、已知正六边形ABCDEF的半径为R,求这个正六边形的边长、周长P6和面积S6

  教师引导学生分析解题思路:

  n=6 =30°,又半径为R a6 、r6. P6、S6

  学生完成解题过程,并关注学生解直角三角形的能力.

  解:作半径OA、OB;作OG⊥AB,垂足为G,得Rt△OGB.

  ∵∠GOB= ,

  ∴a6 =2·Rsin30°=R,

  ∴P6=6·a6=6R,

  ∵r6=Rcos30°= ,

  ∴ .

  归纳:如果用Pn表示正n边形的周长,由例1可知,正n边形的面积S6= Pn rn

  4、研究:(应用例1的方法进一步研究)

  问题:已知圆的半径为R,求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积.

  学生以小组进行研究,并初步归纳:

   ; ; ; ;

   ; .

  上述公式是运用解直角三角形的方法得到的.

  通过上式六公式看出,只要给定两个条件,则正多边形就完全确定了.例如:(1)圆的半径或边数;(2)圆的半径和边心距;(3)边长及边心距,就可以确定正多边形的其它元素.

  (三)小节

  知识:定理、正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题.

  思想:转化思想.

  能力:解直角三角形的能力、计算能力;观察、分析、研究、归纳能力.

  (四)作业

  归纳正三角形、正方形、正六边形以及正n边形的有关计算公式.
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《正多边形的有关计算》
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