正方形 探索式教学示例

　　师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

　　动画演示：

　　场景一：正方形折叠演示

　　    师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

　　    [学生活动：各自测量。]

　　    鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。

　　    讲授新课

　　    找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。

　　动画演示：

　　场景二：正方形的性质

　　师：这些性质里那些是矩形的性质？

　　[学生活动：寻找矩形性质。]

　　动画演示：

　　场景三：矩形的性质

　　师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。

　　[学生活动；寻找菱形性质。]

　　动画演示：

　　场景四：菱形的性质

　　师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

　　及时提出问题，引导学生进行思考。

　　师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个准确的定义？

　　[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]

　　师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

　　学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：

　　“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

　　“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

　　“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

　　[学生活动：讨论这三个定义正确不正确？三个定义之间有什么共同和不同的地方？这出教材中采用的是第三种定义方式。]

　　师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

　　动画演示：

　　场景五：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

　　场景六：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的性质关系

　　师：当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图（图1）表示：

图1

　　师：请同学们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系以及平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的性质关系整理在笔记本上。

　　例题讲解

　　例1 在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE

　　分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC.

　　证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形

　　∴AB=AE,AG=AC

　　∠BAE=∠CAG=90°

　　∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC

　　即∠BAG=∠EAC

　　∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE

图2

　　说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。

　　巩固练习

　　巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。

　　讲解新课

　　师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形？

　　生：证一组邻边相等。

　　师：怎么判定一个菱形是正方形？

　　生：证有一个角是直角。

　　师：怎么判定一个平行四边形是正方形？

　　生：根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。

　　师：那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图2所示？

　　师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全？

　　[学生活动：积极思考，部分学生疑惑不解。]

　　师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。

　　生恍然大悟。

　　学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。

　　就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形？要求给出简单图例，并说出相应证明思路。

　　为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题：

　　(1)对角线相等的菱形是正方形吗？

　　(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

　　(3)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？若不是，还需增加什么条件？

　　(4)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”

　　(5)四个角都相等的四边形是正方形吗？

　　小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示；遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。

　　动画演示：

　　场景七：正方形的判定

　　例题讲解

　　例2  如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M，

　　求证：AD=AM。

　　分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。

　　证明：略。

　　说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。

　　课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。