两圆的公切线

第一课时 两圆的公切线（一）

　　教学目标：

　　（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；

　　（2）培养学生的归纳、总结能力；

　　（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．

　　教学重点：

　　理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．

　　教学难点：

　　两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．

　　教学活动设计

　　（一）实际问题（引入）

　　很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）

　　（二）两圆的公切线概念

　　1、概念：

　　教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：

　　和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．

　　(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．

　　(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．

　　(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．

　　2、理解概念：

　　(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

　　(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

　　(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．

　　(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．

　　（三）两圆的位置与公切线条数的关系

　　组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．

　　（四）应用、反思、总结

　　例1、已知：⊙O₁、⊙O₂的半径分别为2cm和7cm，圆心距O₁O₂=13cm，AB是⊙O₁、⊙O₂的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．

　　分析：首先想到切线性质，故连结O₁A、O₂B，得直角梯形AO₁O₂B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）

　　解：连结O₁A、O₂B，作O₁A⊥AB，O₂B⊥AB．

　　过 O₁作O₁C⊥O₂B，垂足为C，则四边形O₁ABC为矩形，

　　于是有

　　O₁C⊥C O₂，O₁C= AB，O₁A=CB．

　　在Rt△O₂CO₁和．

　　O₁O₂=13，O₂C= O₂B- O₁A=5

　　AB= O₁C= (cm)．

　　反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．

　　 例2*、如图，已知⊙O₁、⊙O₂外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．

　　分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．

　　解：过点P作两圆的公切线CD

　　∵ AB是⊙O₁和⊙O₂的切线，A、B为切点

　　∴∠CPA=∠BAP　　∠CPB=∠ABP

　　又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°

　　∴ 2∠CPA+2∠CPB=180°

　　∴∠CPA+∠CPB=90°　　即∠APB=90°

　　在 Rt△APB中，AB²=AP²+BP²

　　说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．

　　（五）巩固练习

　　1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成(　)

　　(A)直角三角形　(B)等腰三角形　(C)等边三角形　(D)以上答案都不对．

　　此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)

　　2、外公切线是指

　　(A)和两圆都祖切的直线　(B)两切点间的距离 

　　(C)两圆在公切线两旁时的公切线　(D)两圆在公切线同旁时的公切线

　　直接运用外公切线的定义判断．答案：(D)

　　3、教材P141练习（略）

　　（六）小结（组织学生进行）

　　知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；

　　能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；

　　思想：“转化”思想．

　　（七）作业：P151习题10，11．
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