可化为一元二次方程的分式方程

　一、教学目标

　　1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.

　　2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；

　　3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．

　　2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．

　　3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．

　　4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.

　　三、教学步骤

　　（一）教学过程

　　1．复习提问

　　（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？

　　（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？

　　（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.

　　通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同.

　　在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.

　　在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.

　　2．例题讲解

　　例1  解方程.

　　分析  对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.

　　解：两边都乘以，得

　　

　　去括号，得

　　

　　整理，得

　　

　　解这个方程，得

　　

　　检验：把代入，所以是原方程的根.

　　∴  原方程的根是.

　　虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学

　　生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中．需强调方程两边同时乘以最简公分母．另

　　外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解

　　分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调．

　　例2  解方程

　　分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是

　　正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所

　　以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．

　　解：方程两边都乘以，约去分母，得

　　

　　整理后，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把

　　代入它等于0，所以是增根．

　　∴   原方程的根是

　　师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．

　　例3  解方程.

　　分析：此题也可像前面例l、例2一样通过去分母解决，学生可以试，但由于转化后为一元四次方程，解起来难度很大，因此应寻求简便方式，通过引导学生仔细观察发现，方程中含有未知数的部分  和互为倒数，由此可设  ，则可通过换元法来解题，通过求出y后，再求原方程的未知数的值．

　　解：设，那么，于是原方程变形为

　　

　　两边都乘以y，得

　　

　　解得

　　.

　　当时，，去分母，得

　　

　　解得；

　　当时，，去分母整理，得

　　，

　　

　　检验：把分别代入原方程的分母，各分母均不等于0.

　　∴  原方程的根是

　　，.

　　此题在解题过程中，经过两次“转化”，所以在检验中，把所得的未知数的值代入原方程中的分母进行检验.

　　巩固练习：教材P49中1、2引导学笔答.

　　（二）总结、扩展

　　对于小结，教师应引导学生做出.

　　本节内容的小结应从所学习的知识内容、所学知识采用了什么数学思想及教学方法两方面进行.

　　本节我们通过类比的方法，在已有的解可化为一元一次方程的分式方程的基础上，学习了可化为一元二次方程的分式方程的解法，在具体方程的解法上，适用了“转化”与“换元”的基本数学思想与基本数学方法.

　　此小结的目的，使学生能利用“类比”的方法，使学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握.

　　四、布置作业

　　1．教材P50中A1、2、3.

　　2．教材P51中B1、2

　　五、板书设计

探究活动1

　　解方程：

　　分析：若去分母，则会变为高次方程，这样解起来，比较繁，注意到分母中都有，可用换元法降次

　　设，则原方程变为

　　

　　∴

　　∴或无解

　　∴

　　经检验：是原方程的解

探究活动2

　　有农药一桶，倒出8升后，用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，此时农药与水的比为18：7，求桶的容积．

　　解：设桶的容积为 升，第一次用水补满后，浓度为 ，第二次倒出的农药数为4． 升，两次共倒出的农药总量（8＋4· ）占原来农药 ，故

　　

　　整理，

　　 　 （舍去）

　　答：桶的容积为40升．

《可化为一元二次方程的分式方程》