下学期 4.11 已知三角函数值求角2

（第二课时）

一．教学目标

　　1．掌握已知一角的正切值，求角的方法．

　　2．掌握给定区间内，用反三角函数表示一个角的方法．

二．教学具准备

　　投影仪

三．教学过程

　　1．设置情境

　　师：请同学们看投影，回答问题

　　（1）若 ， ，则 ．

　　（2）若 ， 则 ．

　　生：（1） 或 ．

　　（2） 或 ．

　　师：回答正确．请同学结合上面两个小题的求解过程，总结一下已知三角函数值求角的一般步骤：

　　生：从上面两个小题的求解过程看，有三个步骤：

　　第一步，决定角 可能是第几象限角．

　　第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角 ；如果函数值为负数，则先求了与其绝对值对应的锐角 ；

　　第三步，如果函数值为负数，则根据角 可能是第几象限角，得出 内对应的角—如果它是第二象限角，那么可表示为 ，如果它是第三或第四象限角，那么可表示为 或 ．

　　师：总结得很好，本节课我们继续学习用反正切表示角的方法，先请同学看问题（投影仪）：

　　2．探索研究（此部分可由学生仿照正弦、余弦分析解决）

　　【例1】（1）已知 ，且 ，求 （精确到 ）．

　　（2）已知 ，且 ，求 的取值集合．

　　解：（1）由正切函数在开区间 上是增函数和 可知，符合条件的角有且只有一个，利用计算器可得 （或 ）．

　　（2）由正切函数的周期性，可知 时， ，所以所求的 的集合是 ．

　　下面讨论反正切概念，请看 图形（图1）（投影仪）：

　　观察正切函数的图像的性质，为了使符合条件 （ 为任意实数）的角 有且只有一个，我们选择开区间 作基本的范围，在这个开区间内，符合条件 （ 为任意实数）的角 ，叫做实数 反正切，记作 ，即 ，其中 ，且 ，那么，此例第（2）小题的答案可以写成 ．

　　 表示的意义： 表示一个角，角的特点是①角的正切值为x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有满足 的角都可以，只能是 范围内满足 的角；③由于x为角的正切值，所以x的值可为全体实数．

　　【例2】（1）已知 ，且 ，求 ．

　　（2）已知 ，且 ，求 的取值集合．

　　解：（1）因为 ，所以 ．由正切函数在开区间 上是增函数可知符合条件的角有且只有一个，所以 ．

　　（2）由正切函数的周期性，可知当 时， ．

　　∴所求 的取值集合是 ．

参考例题（供层次高的学生使用）：

　　1．求值 ．

　　解：根据诱导公式 ，且 ，

　　∴ ．

　　评法：由于反正弦 表示 内的一个角，而 ，所以应先用诱导公式将其转化为区间 内的角，再进行计算．

　　2．求 的值．

　　解：∵ 、 表示 中的角

　　∴令 ，则 ，

　　　　 ，则

　　∴

　　又∵ 和 均为锐角

　　∴

　　∴

　　3．演练反馈（投影）

　　（1）满足 的 的集合是（     ）

　　A．　　B．

　　C．　　D．

　　（2）已知 是第二象限角，是 ，则 ．

　　（3）已知 ， ，且 为第三象限角， 为第四象限角，求 、 ．

参考答案：

（1）D　　（2） ， ．

（3）

　　∵ 为第三象限角， 为第四象限角．

　　∴ ， ，

4．总结提炼

　　（1）由反正切定义知： ，     ，

　　（2）已知： ， ，用 表示

范围

位置及大小

或

或

或

四．板书设计

课题

例1

例2

反正切

概念

演练反馈

总结提炼

《下学期 4.11 已知三角函数值求角2》